Surjection canonique

Oui, bien sûr, on appelle ça une section de la surjection canonique. Malheureusement, ce ne sera la plupart du temps qu'une application ensembliste (et pas un morphisme d'anneaux). Ce ne sera pas non plus une bijection. Pire, bien souvent, il n'y a pas de section qui soit un morphisme d'anneaux.

Exemple: $A=\Z,I=2\Z$. On a une section $s: A/I\to A$ qui envoie $\bar{0}$ sur $0$ et $\bar{1}$ sur $1$.

On a bien $\pi\circ s=Id_{A/I}$
En revanche, $s(\pi(2))=s(\bar{0})=0\neq 2$, donc $s\circ\pi\neq Id$. On voit d'ailleurs bien au vu de sa définition que $s$ n'est pas bijective, donc c'est normal.

De plus, $s$ n'est pas un morphisme: $s(\bar{1}+\bar{1})=s(\bar{0})=0$, mais $s(\bar{1})+s(\bar{1})=2\neq 0$.

c'est exactement ça.