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Surjection canonique

Envoyé par fanf 
Surjection canonique
il y a sept années
Bonjour,
si $A$ est un anneau et $I$ un idéal de $A$, alors on peut considérer $p : A\to A/I, a\mapsto [a]$ la surjection canonique.
Si l'on se donne un système de représentant des classes d'équivalences, est-ce qu'on peut considérer une sorte d'application inverse $q: A/I\to A, [a]\mapsto a$ ?
Re: Surjection canonique
il y a sept années
avatar
Oui, bien sûr, on appelle ça une section de la surjection canonique. Malheureusement, ce ne sera la plupart du temps qu'une application ensembliste (et pas un morphisme d'anneaux). Ce ne sera pas non plus une bijection. Pire, bien souvent, il n'y a pas de section qui soit un morphisme d'anneaux.

Exemple: $A=\Z,I=2\Z$. On a une section $s: A/I\to A$ qui envoie $\bar{0}$ sur $0$ et $\bar{1}$ sur $1$.

On a bien $\pi\circ s=Id_{A/I}$
En revanche, $s(\pi(2))=s(\bar{0})=0\neq 2$, donc $s\circ\pi\neq Id$. On voit d'ailleurs bien au vu de sa définition que $s$ n'est pas bijective, donc c'est normal.

De plus, $s$ n'est pas un morphisme: $s(\bar{1}+\bar{1})=s(\bar{0})=0$, mais $s(\bar{1})+s(\bar{1})=2\neq 0$.
Re: Surjection canonique
il y a sept années
Merci pour ta réponse. Je vois bien le probleme...
Les sections de la surjection canonique sont utiles pour les suites exactes non ? Quand on veut écrire un groupe $G$ comme un produit semi-direct par exemple... Mais du coup dans ces cas là les sections doivent nécessairement être des morphismes ?
Re: Surjection canonique
il y a sept années
avatar
c'est exactement ça.

Greg

Ora, lege, lege, relege, labora et invenies (Prie, lis, lis , relis, travaille et tu trouveras)
Re: Surjection canonique
il y a sept années
Ok ! merci
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