Développement de Taylor de vecteurs propres
Salut,
C'est sans doutes archi classique mais je me pose la question suivante: je prends deux matrices carrés à coefficients complexes $A,B$ telles qu'elles soient toutes deux diagonalisables, $A$ est inversible ses valeurs propres sont de multiplicités 1.
Par conséquent, pour tout $t$ suffisamment petit, la matrice $A+tB$ est aussi inversible, diagonalisable et à valeurs propres simples.
Je me demandais à quel point il était possible de construire un vecteur propre de $A+tB$ par récurrence à partir d'un vecteur propre de $A$, en l'exprimant comme une série formelle en $t$. Disons que ça me parait assez clair que si $v_0$ est un vecteur propre de $A$, il existe un unique vecteur propre $v(t)$ de $A+tB$ tel que $v(0)=v_0$, et je me demandais comment le construire.
C'est sans doutes archi classique mais je me pose la question suivante: je prends deux matrices carrés à coefficients complexes $A,B$ telles qu'elles soient toutes deux diagonalisables, $A$ est inversible ses valeurs propres sont de multiplicités 1.
Par conséquent, pour tout $t$ suffisamment petit, la matrice $A+tB$ est aussi inversible, diagonalisable et à valeurs propres simples.
Je me demandais à quel point il était possible de construire un vecteur propre de $A+tB$ par récurrence à partir d'un vecteur propre de $A$, en l'exprimant comme une série formelle en $t$. Disons que ça me parait assez clair que si $v_0$ est un vecteur propre de $A$, il existe un unique vecteur propre $v(t)$ de $A+tB$ tel que $v(0)=v_0$, et je me demandais comment le construire.
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Réponses
Oui bien sûr, mais ça n'est pas très explicite. J'ai reregardé un peu, en fait c'est plus fûté de supposer que la valeur propre qui nous intéresse est $0$ (ce qu'on peut toujours faire quitte à remplacer $A$ par $A-\lambda Id$) et partir du vecteur propre associé: ça élimine des termes et on s'en sort à peu près par récurrence, mais ça reste moche.
En fait ma situation est la suivante: $A$ est diagonale avec des éléments distincts, et je connais le spectre de $B$, je sais qu'il y'a des v.p. multiples. Par ailleurs j'ai une valeur propre de $B$ qui m'intéresse en particulier et dont je sais qu'elle la seule à être simple.
Pour des raisons diverses, j'aimerais avoir un moyen essentiellement uniquement déterminé d'interpoler entre une base propre de $A$ et une base propre de $B$. Dit autrement, bien qu'il y'ait à priori "trop" de liberté dans le choix d'une base propre de $B$, j'aimerais en fixer une par la condition qu'elle vient de la base canonique en construisant une base propre de $A+tB$ comme ci dessus, puis en envoyant continument les coeffs de $A$ vers 0. Je ne sais pas trop si ça fonctionne, mais si c'est le cas j'aimerais que ça soit assez explicite pour déterminer quels élements de la base canonique "collapsent" sur des vecteurs propres ayant même valeur propre. En tous cas, j'aimerais pouvoir le faire pour mon unique (à multiplication près) vecteur propre de $B$ associé à une valeur propre simple. Est ce que cette particularité peut m'aider à suivre la trace de ce vecteur propre ? Je sais que c'est alambiqué mais je suis un brin dans l'impasse