Dobble

Tu connais la réponse, Domi ? Parce que c'est une question que je me suis posée quand mes enfants ont eu ce jeu...

Le problème est invariant par permutation des symboles. Donc chaque symbole apparaît le même nombre de fois dans l'ensemble des cartes. Soit l ce nombre. En multipliant le nombre total c de cartes par le nombre de symboles que chaque carte a en propre p, on a cp=l.n où n est le nombre de symboles distincts. Il faut donc montrer que p=l pour en déduire c=n.

Bonjour, le jeu Dobble a été "mathématisé" sur image des maths (un site du CNRS). Il y a aussi un article sorti ou à sortir dans Quadrature. Il existe un lien avec un espace projectif sur un corps fini. D'ailleurs, la version habituelle de Dobble n'est pas complète (au sens où on pourrait rajouter quelques cartes)

Notons qu'étant donné un entier $n\geq 1$, on ne sait pas conclure quant à l'existence éventuelle d'un plan projectif fini d'ordre $n$ (i.e. un plan projectif dans lequel chaque droite possède $n+1$ points, i.e. un plan projectif à $n^2+n+1$ points). D'ailleurs pour certaines valeurs de $n$, il n'existe pas de plan projectif d'ordre $n$.

Un théorème de Bruck et Ryser montre que si $n$ est congru à $1$ ou $2$ modulo $4$ et si $n$ n'est pas somme de deux carrés, alors il n'y a pas de plan projectif d'ordre $n$.

On sait aussi qu'il n'y a pas de plan projectif d'ordre 10 grâce à des calculs sur ordinateur (cas qui n'est pas couvert par le théorème de Bruck-Ryser)

Lorsque $n$ est une puissance d'un nombre premier, l'argument de Foys montre qu'un plan projectif d'ordre $n$ existe.

Jeu avec $N$ symboles sur chaque carte, $S$ symboles en tout, $C$ cartes. On prend un symbole fixé $s$; on cherche le nombre d'éléments de l'ensemble $C_{s}$ des cartes contenant ce symbole. Si deux cartes le contiennent, ces deux cartes n'ont aucun autre symbole en commun. En fait les groupes de symboles (excepté $s$ qui est commun à toutes) des cartes de $C_{s}$ forment une partition, en parties à $N-1$ éléments, de l'ensemble des symboles (excepté $s$). Le nombre d'éléments de $C_{s}$ vaut donc : $$Card C_{s}=\frac{S-1}{N-1}
$$ On a compté le nombre de cartes contenant un symbole fixé. Si on fait la somme $T$ de ce nombre pour tous les symboles, on obtient d'une part : $$T=SC_{s}=S\frac{S-1}{N-1}$$ et d'autre part, par ce procédé on a compté l'ensemble des cartes, $N$ fois.
On a donc : $$T=NC$$ Donc : $$C=\frac{S(S-1)}{N(N-1)}
$$ Pour $N=8$, et en choisissant $S-1=N(N-1)=56$, on obtient $C=S=57$. Après vérification du jeu, il y avait 57 symboles et 54 cartes (...). Conclusion (confirmée après coup par un étalage des cartes), les concepteurs ont retiré 3 cartes du jeu complet.