Dobble
Bonsoir à tous
Encore un problème auquel je ne trouve pas vraiment de domicile , "algèbre" semble le moins pire .
Sur l'île des maths on propose le jeu suivant appelé dobble : on a une cinquantaine de cartes sur lesquelles figurent 8 motifs . En piochant au hasard deux cartes dans le jeu , on va toujours trouver exactement un motif en commun sur les deux cartes .
Il faut 57 motifs différents pour réaliser le jeu qui va contenir au maximum 57 cartes . Plus généralement avec n motifs par cartes peut-on réaliser un jeu de n(n-1)+1 cartes avec n(n-1)+1 motifs différents ?
Un exemple de jeu avec trois motifs
ABC
ADE
AFG
BDF
BEG
CDG
CEF
On remarquera que chaque symbole figure exactement trois fois sur l'ensemble des cartes .
Bonne recherche !
Domi
Encore un problème auquel je ne trouve pas vraiment de domicile , "algèbre" semble le moins pire .
Sur l'île des maths on propose le jeu suivant appelé dobble : on a une cinquantaine de cartes sur lesquelles figurent 8 motifs . En piochant au hasard deux cartes dans le jeu , on va toujours trouver exactement un motif en commun sur les deux cartes .
Il faut 57 motifs différents pour réaliser le jeu qui va contenir au maximum 57 cartes . Plus généralement avec n motifs par cartes peut-on réaliser un jeu de n(n-1)+1 cartes avec n(n-1)+1 motifs différents ?
Un exemple de jeu avec trois motifs
ABC
ADE
AFG
BDF
BEG
CDG
CEF
On remarquera que chaque symbole figure exactement trois fois sur l'ensemble des cartes .
Bonne recherche !
Domi
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Réponses
Ton exemple devient :
0 1 2
0 3 4
0 5 6
1 3 5
1 4 6
2 3 6
2 4 5
En imaginant que ces cartes représentent un nombre écrit en base n, ces nombres sont rangés dans l'ordre croissant.
On voit en effet assez rapidement que pour n places par cartes , le nombre maximum théorique de cartes est n(n-1)+1 , c'est aussi le nombre de motifs dintincts . Je ne sais pas si ce maximum peut toujours être atteint . Il y a d'autres questions ouvertes , par exemple de minimiser le nombre de motifs différents en fixant le nombre de cartes et le nombre de symboles par carte .
J'ai aussi joué à ce jeu avec mes enfants il y a "quelques" années et je me suis toujours demandé pourquoi il manquait deux cartes . D'un autre côté un des intérêts de ce jeu est que l'on peut y jouer même s'il manque des cartes ( ceux qui ont des enfants ou des petits frères et soeurs comprendront ) .
Bonne recherche et bonne journée à tous .
Domi
Je n'ai fait que survoler l'article mais il semble que la méthode , exposée pour n motifs par carte , ne "marche" que lorsque n-1 est une puissance d'un nombre premier , le cas général reste ouvert .
Il est quand même étonnament riche ce jeu .
Domi
exemple: quand $K:=\mathbb F_7$ $card(\mathbb P^2(K))=57$ et chaque droite contient $8$ éléments.
Plus généralement si $p$ est premier et $n\in \N^*$ on a un corps fini de cardinal $p^n$ donc $1+p^n+p^{2n}=card(\mathbb P^2(\mathbb F_{p^n}))$ symboles, autant de cartes, et chaque carte contient $p^n+1$ élements (cardinal d'une droite i.e $card (\mathbb F_{p^n} \cup \{+ \infty\})$).
Un théorème de Bruck et Ryser montre que si $n$ est congru à $1$ ou $2$ modulo $4$ et si $n$ n'est pas somme de deux carrés, alors il n'y a pas de plan projectif d'ordre $n$.
On sait aussi qu'il n'y a pas de plan projectif d'ordre 10 grâce à des calculs sur ordinateur (cas qui n'est pas couvert par le théorème de Bruck-Ryser)
Lorsque $n$ est une puissance d'un nombre premier, l'argument de Foys montre qu'un plan projectif d'ordre $n$ existe.
$$ On a compté le nombre de cartes contenant un symbole fixé. Si on fait la somme $T$ de ce nombre pour tous les symboles, on obtient d'une part : $$T=SC_{s}=S\frac{S-1}{N-1}$$ et d'autre part, par ce procédé on a compté l'ensemble des cartes, $N$ fois.
On a donc : $$T=NC$$ Donc : $$C=\frac{S(S-1)}{N(N-1)}
$$ Pour $N=8$, et en choisissant $S-1=N(N-1)=56$, on obtient $C=S=57$. Après vérification du jeu, il y avait 57 symboles et 54 cartes (...). Conclusion (confirmée après coup par un étalage des cartes), les concepteurs ont retiré 3 cartes du jeu complet.
La difficulté est de montrer que ce maximum théorique $N(N-1)+1$ peut être réalisé .
Domi
PS : regarde bien sous la banquette , il me semble que tu as perdu une carte