Polynomes en "racine de X"

fanf · February 2013

Bonjour : est-ce que $\C[\sqrt{X}]$ a un sens ? est un anneau ?
Merci

Magnolia · February 2013

Bonjour

Oui, bien sur. Tu peux l'interpréter comme $\C[X,Y]/(Y^2-X)$ ce qui évite toutes les vérifications fastidieuses. Mais c'est exactement ce à quoi on pense (enfin, ce à quoi, je pense)

GreginGre · February 2013

Salut,

oui, c'est un anneau (tu aurais pu le vérifier toi-même), isomorphe à $ \C[T]$.

egoroffski · February 2013

Hello,

Je ne suis algébrahiste (Dieu merci) mais est-ce que $\C[X,Y]/(Y^2-X)$ ne ressemblerait pas à ce que tu cherches ?

PS : Bon, à la réflexion ma proposition a quand même l'air de ressembler beaucoup à $\C[Y]$...

fanf · February 2013

Merci ! Ok on quotiente par la relation qu'on "veut" : $\sqrt{X}^2=X$. On a donc un idéal de $\C[X,Y]$ et le quotient est un anneau. Les éléments sont bien de la forme $a_n\sqrt{X}^n+\dots+ a_0$ ?

AndreBolkonski · February 2013

Quand tu veux munir ensemble de polynômes de la structure d'anneau l'indéterminée est un objet formel. Ainsi que tu la notes X ou n'importe quoi d'autre ça ne change rien.

Random0 · April 2013

Ça change les évaluations non ?Et les racines des polynômes par la même occasion ?

Magnolia · April 2013

Atention! L'anneau $\C[\sqrt X]$ existe et comme dit ci-dessus, est isomorphe à l'anneau $\C[T]$. En revanche, si tu prends une fonction polynômiale $P(z)$ définie sur $\C$ il est hors de question de considérer $P({\red \sqrt z})$...

Polynomes en "racine de X"

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