Produit libre

Bonjour, si on se donne deux $\C$-algèbres $A,B$ alors on peut construire leur produit libre $A*B$, qui possède la propriété universelle suivante : si $C$ est une autre $\C$-algèbre telle qu'on ait des morphisme $f_A : A\to C$ et $f_B : B\to C$, alors il existe un unique morphisme $\pi : A*B\to C$
Ma question est la suivante : si $f_A, f_B$ sont injectifs, est-ce que $\pi$ est injectif ?
Merci.