Série et nombres premiers
Bonjour,
Voilà j’étais en train de faire cet exercice mais une fois arrivé à la question 4/b/, j'ai un doute sur la manière dont je dois considérer les éléments de $D$.
Je rappelle que $D=\{(m,n)\in(\N\setminus\{0\})² \mid \mathrm{pgcd}(m,n)=1\}$...
Je ne suis pas sûr que ça soit exact mais je crois que tout couple d'entiers consécutifs sont premiers entre eux et de ce fait qu'on pouvait réécrire $m$ (dans la somme) tel que $m=n-1$ mais j'ai peur que ça soit vraiment insuffisant pour prendre en compte tous les éléments de $D$...
Quelqu'un aurait une idée svp ?
Voilà j’étais en train de faire cet exercice mais une fois arrivé à la question 4/b/, j'ai un doute sur la manière dont je dois considérer les éléments de $D$.
Je rappelle que $D=\{(m,n)\in(\N\setminus\{0\})² \mid \mathrm{pgcd}(m,n)=1\}$...
Je ne suis pas sûr que ça soit exact mais je crois que tout couple d'entiers consécutifs sont premiers entre eux et de ce fait qu'on pouvait réécrire $m$ (dans la somme) tel que $m=n-1$ mais j'ai peur que ça soit vraiment insuffisant pour prendre en compte tous les éléments de $D$...
Quelqu'un aurait une idée svp ?
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Réponses
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} \Big (\sum_{m=1, pgcd(n,m)=1}^{n-1}\dfrac{1}{m^2}\Big)$$
Je ne sais pas si cela aide.
$$\sum_{\substack{d \mid m \\ d \mid n}} \mu(d) = \begin{cases} 1, & \textrm{si\ } (m,n) = 1 \\ 0, & \textrm{sinon.} \end{cases}$$
Appliquée ici, cette identité entraîne que la somme cherchée vaut
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \sum_{m < n} \frac{1}{m^2} \sum_{\substack{d \mid m \\ d \mid n}} \mu(d) = \sum_{d=1}^\infty \mu(d) \sum_{\substack{n=1 \\ d \mid n}} \frac{1}{n^2} \sum_{\substack{m < n \\ d \mid m}} \frac{1}{m^2} = \sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{d^4} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \sum_{h < k} \frac{1}{h^2} = \frac{1}{\zeta(4)} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \sum_{h < k} \frac{1}{h^2}.$$
Soient deux réels $\alpha >1$ et $\beta >1$ et soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes sur un espace probabilisé $\Omega$, telles que : $X(\Omega )=Y(\Omega )=\N^{*}$, et que pour $k\in \N ^{*}$, on ait :
$P(X=k)=\frac{1}{\zeta (\alpha )k^{\alpha }}$ et $P(Y=k)=\frac{1}{\zeta (\beta )k^{\beta }}$, et soit $Z=\frac{X}{Y}$.
L'ensemble des valeurs de $Z$ est : $Z(\Omega )=\Q_{+}^{*}$.
Pour : $a\in \N ^{*}$ et $b\in \N ^{*}$, avec $a\wedge b=1$, on a :
$P(Z=\frac{a}{b})=\underset{k=1}{\overset{+\infty }{\sum }}P(X=ka\cap Y=kb)=\underset{k=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{\zeta (\alpha )(ka)^{\alpha }\zeta (\beta )(kb)^{\beta }}$$=\frac{\zeta (\alpha +\beta )}{\zeta (\alpha )\zeta (\beta )a^{\alpha }b^{\beta }}$
On a nécessairement : $\underset{r\in \Q_{+}^{*}}{\sum }P(Z=r)=1$, soit : $\underset{a\wedge b=1}{\underset{a\in \N^{*},b\in \N^{*}}{\sum }}P(Z=\frac{a}{b})=1$, ce qui se traduit par l'égalité : $\underset{a\wedge b=1}{\underset{a\in \N^{*},b\in \N^{*}}{\sum }}\frac{\zeta (\alpha +\beta )}{\zeta (\alpha )\zeta (\beta )a^{\alpha }b^{\beta }}=1$
La famille : $\{\frac{1}{a^{\alpha }b^{\beta }}/a\geq 1,b\geq 1,a\wedge b=1\}$ est sommable ssi $\alpha >1$ et : $\beta >1$, et il suit de l'égalité précédente que : $\underset{a\wedge b=1}{\underset{a\in \N^{*},b\in \N^{*}}{\sum }}\frac{1}{a^{\alpha }b^{\beta }}=\frac{\zeta (\alpha )\zeta (\beta )}{\zeta (\alpha +\beta )}$.
On peut certainement "dé-probabiliser" cette démonstration.
Je répète que j'aimerais bien le texte complet de cet exercice.
Bonne journée.
RC
Sans cette contrainte, il est évident que mon calcul plus haut donne immédiatement $\zeta(2)^2/\zeta(4)$, la somme en $h$ devenant indépendante de celle en $k$.
J'ose conjecturer qu'il ne t'échappe pas que la somme que j'ai donnée fournit en une ligne celle qui est demandée...
Français, encore un effort...
RC
Tu sais peut-être où j'ai rangé ce livre, cela fait deux jours que je le cherche car à moi aussi cet exercice m'a rappelé l'article de Don Zagier que tu mentionnes.
La méthode indiquée est tout à fait classique et devrait, selon moi, être connue des taupins (mais peut-être l'est-elle, après tout...).
Désolé.
En revanche, je ne comprends pas ceci :
http://fr.wikisource.org/wiki/Français,_encore_un_effort_si_vous_voulez_être_républicains
http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/tex/ConsequencesCohomologySL/fulltext.pdf
Désolé je viens de voir les messages voila le début de l'exercice...
(quelqu'un d'autre a posté le sujet d'algèbre de cette même épreuve ailleurs dans le forum Algèbre)