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Série et nombres premiers

Envoyé par edolas 
edolas
Série et nombres premiers
il y a sept années
Bonjour,

Voilà j’étais en train de faire cet exercice mais une fois arrivé à la question 4/b/, j'ai un doute sur la manière dont je dois considérer les éléments de $D$.
Je rappelle que $D=\{(m,n)\in(\N\setminus\{0\})² \mid \mathrm{pgcd}(m,n)=1\}$...
Je ne suis pas sûr que ça soit exact mais je crois que tout couple d'entiers consécutifs sont premiers entre eux et de ce fait qu'on pouvait réécrire $m$ (dans la somme) tel que $m=n-1$ mais j'ai peur que ça soit vraiment insuffisant pour prendre en compte tous les éléments de $D$...
Quelqu'un aurait une idée svp ?
[attachment 27812 exo.jpg]
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
avatar
La somme dans 4b) vaut sauf erreur:
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} \Big (\sum_{m=1, pgcd(n,m)=1}^{n-1}\dfrac{1}{m^2}\Big)$$

Je ne sais pas si cela aide.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
avatar
Autrement, il faut peut-être sommer sur k : nm=k (il y a toujours le problème d'"attraper" l'information que pgcd(n,m)=1 )

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
edolas
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
je vais essayer de continuer avec l'expression que vous avez écrite merci beaucoup!!
discret
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
Pour "attraper", comme dit FdP, les entiers premiers entre eux, on utilise en général la formule d'inversion de Möbius qui implique entre autres que

$$\sum_{\substack{d \mid m \\ d \mid n}} \mu(d) = \begin{cases} 1, & \textrm{si\ } (m,n) = 1 \\ 0, & \textrm{sinon.} \end{cases}$$

Appliquée ici, cette identité entraîne que la somme cherchée vaut

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \sum_{m < n} \frac{1}{m^2} \sum_{\substack{d \mid m \\ d \mid n}} \mu(d) = \sum_{d=1}^\infty \mu(d) \sum_{\substack{n=1 \\ d \mid n}} \frac{1}{n^2} \sum_{\substack{m < n \\ d \mid m}} \frac{1}{m^2} = \sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{d^4} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \sum_{h < k} \frac{1}{h^2} = \frac{1}{\zeta(4)} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \sum_{h < k} \frac{1}{h^2}.$$
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
avatar
Ce serait sympa de donner l'exercice en entier.
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
avatar
Il me semble que c'est [attachment 27825 2010-SujetMathematiques.pdf]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Cidrolin.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - 2010-Sujet Mathematiques.pdf (1.91 MB)
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
avatar
J'ai une démonstration probabiliste qui n'est sans doute pas celle qui est attendue, mais je vous la communique quand même.
Soient deux réels $\alpha >1$ et $\beta >1$ et soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes sur un espace probabilisé $\Omega$, telles que : $X(\Omega )=Y(\Omega )=\N^{*}$, et que pour $k\in \N ^{*}$, on ait :
$P(X=k)=\frac{1}{\zeta (\alpha )k^{\alpha }}$ et $P(Y=k)=\frac{1}{\zeta (\beta )k^{\beta }}$, et soit $Z=\frac{X}{Y}$.
L'ensemble des valeurs de $Z$ est : $Z(\Omega )=\Q_{+}^{*}$.
Pour : $a\in \N ^{*}$ et $b\in \N ^{*}$, avec $a\wedge b=1$, on a :
$P(Z=\frac{a}{b})=\underset{k=1}{\overset{+\infty }{\sum }}P(X=ka\cap Y=kb)=\underset{k=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{\zeta (\alpha )(ka)^{\alpha }\zeta (\beta )(kb)^{\beta }}$$=\frac{\zeta (\alpha +\beta )}{\zeta (\alpha )\zeta (\beta )a^{\alpha }b^{\beta }}$
On a nécessairement : $\underset{r\in \Q_{+}^{*}}{\sum }P(Z=r)=1$, soit : $\underset{a\wedge b=1}{\underset{a\in \N^{*},b\in \N^{*}}{\sum }}P(Z=\frac{a}{b})=1$, ce qui se traduit par l'égalité : $\underset{a\wedge b=1}{\underset{a\in \N^{*},b\in \N^{*}}{\sum }}\frac{\zeta (\alpha +\beta )}{\zeta (\alpha )\zeta (\beta )a^{\alpha }b^{\beta }}=1$

La famille : $\{\frac{1}{a^{\alpha }b^{\beta }}/a\geq 1,b\geq 1,a\wedge b=1\}$ est sommable ssi $\alpha >1$ et : $\beta >1$, et il suit de l'égalité précédente que : $\underset{a\wedge b=1}{\underset{a\in \N^{*},b\in \N^{*}}{\sum }}\frac{1}{a^{\alpha }b^{\beta }}=\frac{\zeta (\alpha )\zeta (\beta )}{\zeta (\alpha +\beta )}$.

On peut certainement "dé-probabiliser" cette démonstration.

Je répète que j'aimerais bien le texte complet de cet exercice.
Bonne journée.
RC
discret
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
Cette somme n'est pas la somme attendue, puisqu'il y a une contrainte $m < n$ supplémentaire.

Sans cette contrainte, il est évident que mon calcul plus haut donne immédiatement $\zeta(2)^2/\zeta(4)$, la somme en $h$ devenant indépendante de celle en $k$.
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
avatar
@RC: joli ! thumbs down
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
avatar
@ discret
J'ose conjecturer qu'il ne t'échappe pas que la somme que j'ai donnée fournit en une ligne celle qui est demandée...
Français, encore un effort...
RC



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Raymond Cordier.
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
avatar
A ce propos, dans un des deux premiers tomes des "Leçons de mathématiques d'aujourd'hui", chez Cassini, il y a une jolie preuve de l'identité $\frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)}=\frac52$.
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
avatar
Citation
A ce propos, dans un des deux premiers tomes des "Leçons de mathématiques d'aujourd'hui", chez Cassini, il y a une jolie preuve de l'identité

Tu sais peut-être où j'ai rangé ce livre, cela fait deux jours que je le cherche car à moi aussi cet exercice m'a rappelé l'article de Don Zagier que tu mentionnes. :D

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
discret
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
C'est peut-être (sans doute) une discussion puérile, mais je ne suis pas convaincu par cette démonstration, là où l'utilisation de la fonction de Möbius (qui fournit, comme indiqué plus haut, la fonction indicatrice des entiers premiers entre eux) permet d'obtenir le résultat en une ligne de calculs.

La méthode indiquée est tout à fait classique et devrait, selon moi, être connue des taupins (mais peut-être l'est-elle, après tout...).

Désolé.

En revanche, je ne comprends pas ceci :

Citation
Raymond Cordier
Français, encore un effort...
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
avatar
RC doit apprécier le divin marquis.

[fr.wikisource.org]
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
avatar
L'article de Don Zagier est là:

[people.mpim-bonn.mpg.de]
discret
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
Merci à Aléa pour son interprétation de la pensée de Raymond Cordier et, surtout, son article de D. Zagier.
edolas
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
Bonsoir,
Désolé je viens de voir les messages voila le début de l'exercice...
[attachment 27827 exo1.png]
Re: Série et nombres premiers
il y a sept années
avatar
Cidrolin a posté plus haut l'énoncé du sujet complet de l'épreuve de concours/examen d'où est issu cet énoncé.

(quelqu'un d'autre a posté le sujet d'algèbre de cette même épreuve ailleurs dans le forum Algèbre)

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
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