Série et nombres premiers

La somme dans 4b) vaut sauf erreur:
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} \Big (\sum_{m=1, pgcd(n,m)=1}^{n-1}\dfrac{1}{m^2}\Big)$$

Je ne sais pas si cela aide.

Ce serait sympa de donner l'exercice en entier.

J'ai une démonstration probabiliste qui n'est sans doute pas celle qui est attendue, mais je vous la communique quand même.
Soient deux réels $\alpha >1$ et $\beta >1$ et soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes sur un espace probabilisé $\Omega$, telles que : $X(\Omega )=Y(\Omega )=\N^{*}$, et que pour $k\in \N ^{*}$, on ait :
$P(X=k)=\frac{1}{\zeta (\alpha )k^{\alpha }}$ et $P(Y=k)=\frac{1}{\zeta (\beta )k^{\beta }}$, et soit $Z=\frac{X}{Y}$.
L'ensemble des valeurs de $Z$ est : $Z(\Omega )=\Q_{+}^{*}$.
Pour : $a\in \N ^{*}$ et $b\in \N ^{*}$, avec $a\wedge b=1$, on a :
$P(Z=\frac{a}{b})=\underset{k=1}{\overset{+\infty }{\sum }}P(X=ka\cap Y=kb)=\underset{k=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{\zeta (\alpha )(ka)^{\alpha }\zeta (\beta )(kb)^{\beta }}$$=\frac{\zeta (\alpha +\beta )}{\zeta (\alpha )\zeta (\beta )a^{\alpha }b^{\beta }}$
On a nécessairement : $\underset{r\in \Q_{+}^{*}}{\sum }P(Z=r)=1$, soit : $\underset{a\wedge b=1}{\underset{a\in \N^{*},b\in \N^{*}}{\sum }}P(Z=\frac{a}{b})=1$, ce qui se traduit par l'égalité : $\underset{a\wedge b=1}{\underset{a\in \N^{*},b\in \N^{*}}{\sum }}\frac{\zeta (\alpha +\beta )}{\zeta (\alpha )\zeta (\beta )a^{\alpha }b^{\beta }}=1$

La famille : $\{\frac{1}{a^{\alpha }b^{\beta }}/a\geq 1,b\geq 1,a\wedge b=1\}$ est sommable ssi $\alpha >1$ et : $\beta >1$, et il suit de l'égalité précédente que : $\underset{a\wedge b=1}{\underset{a\in \N^{*},b\in \N^{*}}{\sum }}\frac{1}{a^{\alpha }b^{\beta }}=\frac{\zeta (\alpha )\zeta (\beta )}{\zeta (\alpha +\beta )}$.

On peut certainement "dé-probabiliser" cette démonstration.

Je répète que j'aimerais bien le texte complet de cet exercice.
Bonne journée.
RC

@RC: joli ! (tu)

A ce propos, dans un des deux premiers tomes des "Leçons de mathématiques d'aujourd'hui", chez Cassini, il y a une jolie preuve de l'identité $\frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)}=\frac52$.

C'est peut-être (sans doute) une discussion puérile, mais je ne suis pas convaincu par cette démonstration, là où l'utilisation de la fonction de Möbius (qui fournit, comme indiqué plus haut, la fonction indicatrice des entiers premiers entre eux) permet d'obtenir le résultat en une ligne de calculs.

La méthode indiquée est tout à fait classique et devrait, selon moi, être connue des taupins (mais peut-être l'est-elle, après tout...).

Désolé.

En revanche, je ne comprends pas ceci :

Raymond Cordier a écrit:

Français, encore un effort...

L'article de Don Zagier est là:

http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/tex/ConsequencesCohomologySL/fulltext.pdf