Base des fonctions continues
dans Algèbre
Salut,
j'ai une question assez naïve, l'ensemble des fonctions continues sur [a,b] est un evn de dimension infinie, mais connait-on une base de ces fonctions comme (1,X,X²,...) sur l'ensemble des ploynomes qui est aussi de dimension infinie ?
merci
j'ai une question assez naïve, l'ensemble des fonctions continues sur [a,b] est un evn de dimension infinie, mais connait-on une base de ces fonctions comme (1,X,X²,...) sur l'ensemble des ploynomes qui est aussi de dimension infinie ?
merci
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Réponses
Remarque : la dimension de l'espace vectoriel en question est le cardinal de IR.
PB te suggère que l'existence d'une telle base implique sans doute une version faible de l'axiome du choix, c'est-à-dire qu'on ne pourra pas se passer d'une variante de Zorn pour exhiber une telle base.
Curieusement, certains matheux considèrent qu'un objet exhibé à l'aide de l'axiome du choix n'est pas explicite, alors même qu'ils n'ont aucun problème avec le tiers exclus qui devrait pourtant soulever la même objection. C'est en ce sens que PB suggérait "qu'on ne sait pas en expliciter". Je pense que mon avis sur ce type de réaction se lit en filigrane dans mes propos, mais j'en resterai là sur la partie "troll" de mon message.
@Nîme-Man : je trollerais bien avec toi. Autant je comprends qu'on s'intéresse à ce qui reste vrai sans l'axiome du choix,
autant je ne vois pas pourquoi on fuirait l'axiome du choix pour d'obsures raisons. Son énoncé le rend plutôt acceptable, certains conséquence (Banach-Tarskipar exemple) un peu moins, et alors ?
Comment relies-tu le cardinal de |R à la dimension de cet espace ?
fonctions continues et affines par morceau
La dimension de cet espace est infinie
Ce n'est pas ce qui m'apparaissait à la lecture de ton premier message. Tu y écrivais "on ne sait pas expliciter une telle base". Pourquoi écrire une telle chose, alors que le lemme de Zorn permet précisément d'en expliciter ?
Manifestement, tu as une conception de "expliciter" bien abstraite. Assez proche en fait du "j'ai pas vu, j'ai pas lu, mais j'ai entendu parler" de Delfeil de Ton.
Soit une de tes bases "explicites" (vas-y, choisis-en une). prenons une fonction continue particulière (celle que j'ai en tête). Comment sait-on si elle fait partie de ta base ou non ?
Bien entendu, j'espère une réponse explicite à cette question
Pour l'espace des polynômes, c'est facile.
Cordialement.
J'ai vu, j'ai lu, mais j'ai quand même réfléchi. On a le droit, en maths.
Ta question m'est absolument incompréhensible. J'en déduis qu'effectivement nous n'avons pas la même définition du mot "expliciter". Je te donne la mienne : je dis qu'on peut expliciter un objet lorsqu'on peut démontrer son existence.
Il y a plusieurs cadres démonstratifs possibles (formels ou informels) : ma définition est donc relative à un cadre démonstratif donné. Il semble que dans ce fil le cadre démonstratif proposé par ZFC convienne à tout le monde : j'accepte donc, si tu tiens à ce que je te donne une définition la plus fermée possible, qu'on s'y restreigne ici (il y aurait pourtant des choses intéressantes à dire sur ce que donne ma définition dans le cadre des mathématiques constructives, on pourra y revenir plus tard).
La définition que je viens de te donner est certes infiniment critiquable, et tes critiques à son sujet seront évidemment extrêmement bienvenues ; mais pour qu'elles me soient compréhensibles, j'apprécierais que tu me donnes avant tout ta définition du mot "expliciter" (si de plus tu pouvais ne pas commencer ta réponse par le mot "désolé", j'apprécierais grandement).
Alors qu'il faudrait en donner une (et exactement une).
Il est vrai que j'ai mentionné plusieurs bases et non une seule, et je reconnais qu'on pourrait changer ma définition en remplaçant "démonter son existence" par "démontrer son existence et son unicité". On obtiendrait une autre définition du mot "expliciter", mais je n'ai pas l'impression que ce soit la tienne (ou celle de Gérard, ou celle de PB).
Le point important est que je ne comprends pas bien ce que signifie pour toi l'expression "non ambiguë". Pourrais-tu me le préciser ?
Voici un exemple pour t'aider à me préciser ce que tu as voulu dire. Théorème : il existe un unique entier k qui vaut 0 si toute partie de R [edit : contenant N] est en bijection avec N ou bien en bijection avec R, et qui vaut 1 s'il existe une partie de R [edit : contenant N] qui n'est ni en bijection avec N ni en bijection avec R. Mon théorème est-il vrai ? Si oui, ai-je défini un entier k de façon non ambiguë ?
{0} est une partie de R ni en bijection avec N, ni en bijection avec R. Donc pour moi ton k vaut 1.
C'est explicite et non ambigu.
Mais tu as sans doute caché une subtilité qui m'échappe (voulais-tu parler de parties infinies ?).
Alain
Hop, j'ai décrit une unique base (mais de façon ambiguë j'imagine, jusque je n'ai pas précisé lequel des bons ordres donnés par Zermelo je considérais).
Pour AD, je voulais parler de parties de R contenant N. J'ai posté trop vite, mea culpa !
je me suis contenté d'utiliser la définition habituelle du mot expliciter : "rendre explicite, plus clair, formuler en détails" (petit Larousse 1995).
Démontrer l'existence rend implicite l'objet. De implicite , "qui est contenu dans une proposition sans être exprimé en termes précis, formels; qui est la conséquence nécessaire"(idem).
Maintenant, si tu décides que pour toi ces deux mots ont un autre sens que pour tout le monde, d'accord, mais alors tu es d'accord avec PB : tu ne sais pas donner une caractérisation de tes éléments de la base qui permette de décider pour une fonction donnée si elle en fait partie ou pas (cette formulation de "explicite" serait rejetée par pas mal de grammairiens). Ne parlons pas de les décrire !!!
Donc on attend que tu donnes le détail du contenu d'une de ces bases ....
Cordialement.
Nb : connais-tu le "théorème des fonctions implicites" ?
PS : "expliciter" est pour la plupart une notion "méta-mathématique". Ce doit être un casse-tête de logiciens d'en donner une définition mathématique. Montrer une existence c'est clair, expliciter c'est pas très clair… mais tout le monde comprend (ou fait semblant).
J'ai bien peur que tout le monde fasse semblant.
Je nuance : il y a des gens qui ont vraiment réfléchi sérieusement à cette question. Ils font des mathématiques "explicites", mais ils donnent à ce mot un sens précis. Cela s'appelle les mathématiques constructives.
Je n'avais jamais observé de désaccord profond auparavant sur l'usage de ce terme
Même si la notion est très subjective, il me semblait que la plupart des gens s'accordaient pour dire que dans "x=2", x est explicite tandis que dans "l'axiome du choix montre l'existence de x" ou "un résultat de compacité montre l'existence de x", x n'est a priori pas explicite.
vanilla-sky a demandé si on connaissait des bases de $\mathcal{C}([a,b],\R)$.
PB (qui en connaissait) a répondu "je parie que non, on ne sait pas expliciter une telle base".
C'est une curieuse réponse. Il me semblait que la question de vanilla-sky portait clairement sur un résultat d'existence, mais la chose pertinente sur laquelle a voulu insister PB, c'est que bien que la réponse à cette question d'existence fût affirmative, il fallait répondre non à cause d'un problème d'explicitation, problème qui n'était pas soulevé par vanilla-sky et dont PB a fini par convenir qu'il n'était pas de nature mathématique.
J'ai souhaité :
1) donner la réponse à la question mathématique qui était posée
2) troller un peu
C'est fait.
PS : je suis un fan de PB dont j'adore le blog, j'espère qu'il ne m'en voudra pas pour mon troll (mais il a dit qu'il voulait bien troller avec moi alors...).
il est assez compliqué de trouver une base sur $C([a;b])$. Parce que ta base ne sera pas dénombrable, cela découle du lemme de Zorn (il a un nom de personnage de SF celui là). Par contre tu peux te renseigner sur ce qu'on appelle les bases de Shauder. il est possible dans certain espaces de dimension infinie d'écrire les éléments de cet espace comme somme de série.
Mais sinon, je comprends la question initiale comme "peut-on expliciter une base ..." (!). Je ne la comprends pas comme "existe-t-il une base ...". Mais qu'a voulu dire vanilla-sky finalement !?
Sur l'espace des polynômes, on a une base explicite : $(P_n)_{n \in \N}$. L'ensemble des indices est explicite et, pour chaque indice, on sait exactement qui est mon vecteur. On n'a pas ça avec l'espace des fonctions continues de $\R$ dans $\R$. Ce n'est pas parce que ça n'a pas de sens mathématique que ce n'est pas pertinent
S'agit-il bien de cela ?
NB : contrairement à ce que tu sembles penser, les mathématiques constructives, c'est réellement intéressant, et j'invite ceux qui aimeraient donner un sens mathématique au mot "expliciter" à s'y plonger.
Oui c'est ça.
Si $a<b$, toute la difficulté est de définir la structure d'espace vectoriel sur l'ensemble d'applications considéré. Pour l'addition, il ne s'agit pas de l'addition point par point (qui ferait que $x\mapsto -\dfrac{1}{x}$ n'est pas l'opposé de $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ par exemple, car l'application nulle est définie sur $[a,b]$ tout entier) mais du prolongement par continuité maximal de celle-ci. Même chose pour la multiplication par un scalaire. On est alors ramené à trouver une base de l'espace des fractions rationnelles, ce qui n'est pas très difficile pour qui a déjà entendu parler de décomposition en éléments simples (et infaisable pour les autres).
Quelqu'un pourrait-il m'exhiber une définition explicite de "canonique" ?
Pas tant que ça : les maths proposent justement un langage qui rend la communication "non ambiguë" possible. Si bien sûr on préfère ne pas l'utiliser, c'est une autre affaire...
C'était juste pour dire que dans certains cas on pouvait expliciter une base, malgré la non-dénombrabilité de la dimension de l'espace vectoriel, et bien qu'il n'y ait pas a priori de base qui saute aux yeux.
dans certains domaines, des mathématiciens définissent des notions pour lesquelles ils utilisent des mots du français courant dans un sens technique. Autant il est normal que dans ce contexte, le mot ait le sens technique, autant il est anormal (et c'est un troll très malsain, proche de la mégalomanie : "moi je sais") d'exciper de ce sens dans une discussion en langage courant.
Désolé, Nîmes-Man, mais ça t'a fait baisser dans mon estime. Même si tu t'en moques.
Plus gênant : ça contribue à éloigner du forum les lycéens et étudiants, dont les questions finissent noyées dans un débat absurde.
Ton estime m'est précieuse. Je regrette que tu n'aies pas compris mon propos. J'ai pointé quelque chose du doigt, tu regardes mon doigt.
Le vrai critère d'obstruction à l'explicitation, ce n'est pas l'axiome du choix, c'est le tiers exclus. Beaucoup de matheux n'en ont pas conscience, et continuent à considérer qu'on ne peut pas expliciter une base de Hamel (par exemple), alors qu'on peut expliciter deux irrationnels $a$ et $b$ tels que $a^b$ soit rationnel par une disjonction des cas (par exemple).
J'ai voulu te faire prendre conscience de cela, à toi et à d'autres. Apparemment je n'y suis pas parvenu et j'en suis bien déçu, même si tu t'en moques.
Je garde néanmoins l'espoir que mes interlocuteurs, contrairement à ce qui m'est apparu ici, ont en fait bien conscience que le problème que pose le tiers exclus est de même nature que celui posé par l'axiome du choix, et trouveraient tout aussi "non explicites" les objets obtenus à l'aide de celui-ci, c'est-à-dire la plupart des objets dont il est question en mathématiques classiques (même si la plupart des raisonnements classiques ont une essence constructive et peuvent se "constructiviser"). Je préfère penser que mes messages étaient complètement inutiles plutôt que de penser qu'ils auraient pu servir à quelque chose si je les avais mieux tournés.
Je me demandais s'il existait des bases de cet espace, et dans ce cas, si on pouvait ou non en expliciter les éléments.
Se donnant une quelconque fonction continue sur [a,b] , s'il est possible de la décomposer dedans.
Soit (Pi)i€J une base de l'espace, (sous réserve d'existence mais d'après vous il en existe selon de lemme de Zorn), peut on:
1) connaitre explicitement les Pi, c'est-a-dire écrire " pour tout t dans [a,b], pour tout i dans J, Pi(t) = ..."
2) connaitre les composantes dans cette base de notre fonction, c'est-a-dire les scalaires (ai)i€J tel que notre fonction s'écrive de manière unique f=Somme(i€J)[ai.Pi]
Pour toute fonction continue $f \neq 0$, il existe une base de $C([a,b])$ contenant $f$. De façon plus générale, toute famille libre de fonctions continues peut être complétée en une base de $C([a,b])$.
J'avais bien compris ton propos (que je partage en partie) et je te donne acte du fait que tu avais une vraie idée épistémologique en tête. Mais ce n'était pas le lieu. Et d'ailleurs, tu n'avais pas répondu (pour cause) à mes propositions d'éclaircissement par des exemples. Vanilla-Sky repose en des termes différents la même question. J'espère que tu vas lui répondre ...
Mais je maintiens que ce genre d'incidentes tue le forum à petit feu.
Cordialement.
les étudiants qui veulent progresser en maths posent des questions. Ils ne passent pas (contrairement à nous
Cordialement.
NB : j'y ai contribué ici
Je t'en donne acte mais j'en rajoute quand même une couche.
Les mathématiques que l'on pratique, les mathématiques que l'on enseigne, sont truffées de raisonnements de ce genre, sans qu'on vienne reprocher à quiconque quelque défaut d'explicitation que ce soit.
L'ensemble des racines réelles du polynôme $aX^2+bX+c$ est :
-> $\left\{\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right\}$ si $b^2-4ac>0$,
-> $\left\{\dfrac{-b}{2a}\right\}$ si $b^2-4ac=0$,
-> $\emptyset$ si $b^2-4ac<0$.
Ai-je décrit explicitement l'ensemble des racines réelles de $aX^2+bX+c$ ?
Si un lycéen ou un collégien vient sur le forum demander si on connait les solutions de l'équation $aX^2+bX+c=0$, dois-je lui répondre que non, on ne peut pas expliciter ces solutions ?
Autre exemple : JLT a évoqué (de façon implicite) les espaces vectoriels de la forme $\R^{(I)}$ des applications presques nulles de $I$ dans $\R$ : sûrement ces espaces ont une base explicite, la base formée des applications nulles partout sauf en un point de $I$ où elles valent $1$, qu'on peut sans souci identifier à $I$. Ainsi connaît-on certainement une base explicite de l'espace $\R^{(\R)}$, base qui s'identifie à $\R$. L'ensemble $\R$ serait donc explicite, alors même que le problème de l'égalité de deux réels est indécidable. Cela peut ne pas te choquer, mais ça ne colle pas au sens courant du mot explicite que tu as donné, tel que je le comprends.
Quel est le bon lieu pour discuter de mathématiques, si ce n'est pas ici ? C'est une question sérieuse.
Quand une question d'un étudiant (ou autre, disons non spécialiste) pose un problème de spécialiste, pourquoi ne pas faire un autre fil. Beaucoup le font. Et répondre au questionneur dans des termes qu'il peut comprendre.
Pour tes questions : les solutions de l'équation sont explicitement données (le fait qu'il y ait des paramètres ne pose pas de problème, puisqu'ils y sont dès le début).
Idem pour les fonctions nulles sauf en un nombre fini de valeurs. D'ailleurs les questions de Vanilla-sky ont une réponse.
J'ai surtout l'impression que tu es parti sur une signification bien particulière de "explicite" et que tu y tiens. Sans accepter de revenir au français courant.
Bon, je ne reviendrai pas sur le sujet, je n'ai pas de réponse à donner à vanilla-Sky, et personne n'en donne.
Cordialement.
J'en ai donné une. Ce n'est pas parce qu'elle te déplaît qu'elle est incorrecte.
Si les coefficients $a$, $b$, $c$ appartiennent à $\Q$, où à tout autre sous-corps de $\R$ pour lequel la relation $<$ est décidable, j'ai effectivement donné un procédé explicite de description des solutions.
L'inégalité stricte entre deux réels (pour la signification courante donnée au mot "réel") est par contre indécidable. si les coefficients sont supposés réels, les solutions que j'ai données ne sont donc pas plus explicites que mon entier $k$ dépendant de l'hypothèse du continu, ou même que les bases de $\mathcal{C}([a,b],\R)$.
Je trouve très malsain (et très peu scientifique) d'avoir une position à mi-gué. Soit on accepte les raisonnements non constructifs, et alors tout ce qui existe (classiquement) a droit de cité. Soit on les refuse, mais alors on en assume toutes les conséquences, et plus grand-chose dans les maths telles qu'on les enseigne ne doit être considéré explicite.
Bien sûr, on pourrait enseigner les maths autrement : mais c'est un autre débat.
Il a d autant plus raison, que non content qu on ne puisse pas prouver que les mots vagues evoques ont un sens, je signale QU ON PEUT PROUVER qu ils n en auront jamais (ie toute theorie qui pretendrait les formaliser est contradictoire). D un pc je posterai la preuve, s il le faut
Je mets en garde contre les pubs pour les soit disant maths constructives. Meme s il y en a des courageuses et honnetes, leurs auteurs ont tendance a mentir, ie a envoyer des slogans excessifs pour les vanter. Il y en a deus sortes:
1) celles non formalisees (donc en fait nulles et non avenues en science)
2) Les plus serieuses. Mais elles manquent toujours un objet CONSTRUCTIBLE par exces de severite
In fine on retombe sur exactement le meme "trou noir" que la "banale diagonale" des Cantoro-Godelismes
Rappel a Gerard: dans ces enonces d analyse il y a bcp d alternances de quantificateurs, ce n est pas juste un "exists" qui est en jeu. le "non" est juste un echange de joueur entre qui defend vrai et qui defend faux et le tiers exclus est constructif dans le sens trivial qu un double echange ramene les adversaires en position initiale, rien de plus.
Exercice: prouve (SANS AC!!!) qu il n existe pas de fonction f qui a chaque famille associe une attestation que ce n est pas une base (ie une liaison ou un vecteur non dans )
En bref, dirais tu qu il n y a pas de strategie optimale aux echecs parce que bien qu en prouve trivialement l existence, on en connait pas a l heure actuelle
Je te donne totalement raison sur ce point, mais je réagissais à une prise de position de PB, qui le premier a (il me semble) exprimé une position de spécialiste (il a laissé entendre qu'il ne serait pas surpris que l'existence d'une telle base impliquait une version faible de l'axiome du choix).
Si PB avait ouvert un autre fil pour poster sa réponse, j'aurais réagi sur l'autre fil.
Je n'ai pas d'objection à ce que la discussion présente soit scindée en deux fils si un modérateur venait à avoir le courage de procéder à une telle opération. Bien au contraire.
ta question n a pas de sens.
Pour tenter de lui donner un sens mathematique, il pourrait etre demande par exemple: estce que l existence d une base de.cet espace est consistent avec AD? etc etc
Mais je crains que tu n avais pas envisage ces peregrinations. Je ne sais pas la maintenant mais comme PB je n ai pas l impression que l existence.d une base peut etre prouvee dans ZF seul (ie sans axiome du choix). Mais il resterait a le prouver
Par ailleurs une preuve meme sans axiome du choix ni tiers exclus n aboutit pas forcement a "un truc explicite" comme tu le desires.
Ta question n a donc vrmt pas de sens. Avec.une fonction choix, la reponse est oui a tous tes items, mais decevante affectivement pour toi j imagine
La degradation vient plus du crash du secondaire qui ICI se manisfeste sous le degat collateral d un pullulement de vagues questions sans grand sens math ni interet dans les rubriques stats probas,etc et surtout tournees dans une forme a la fois purement utilitaire et impatiente genre "qui vend un tournevis c15", donc forcement le public habituel s est lasse
merci pour vos réponses en tout cas