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Base des fonctions continues

Envoyé par vanilla-sky 
Base des fonctions continues
il y a sept années
Salut,
j'ai une question assez naïve, l'ensemble des fonctions continues sur [a,b] est un evn de dimension infinie, mais connait-on une base de ces fonctions comme (1,X,X²,...) sur l'ensemble des ploynomes qui est aussi de dimension infinie ?
merci
PB
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Je ne sais pas mais je parie que non (on ne sait pas expliciter une telle base).

Remarque : la dimension de l'espace vectoriel en question est le cardinal de IR.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
On en connaît : celles qui sont données par l'application du lemme de Zorn sur l'ensemble des familles libres de vecteurs de $\mathcal{C}([a,b],\R)$, ordonné par l'inclusion.

PB te suggère que l'existence d'une telle base implique sans doute une version faible de l'axiome du choix, c'est-à-dire qu'on ne pourra pas se passer d'une variante de Zorn pour exhiber une telle base.

Curieusement, certains matheux considèrent qu'un objet exhibé à l'aide de l'axiome du choix n'est pas explicite, alors même qu'ils n'ont aucun problème avec le tiers exclus qui devrait pourtant soulever la même objection. C'est en ce sens que PB suggérait "qu'on ne sait pas en expliciter". Je pense que mon avis sur ce type de réaction se lit en filigrane dans mes propos, mais j'en resterai là sur la partie "troll" de mon message.
PB
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Pour consoler vanilla-sky : on peut expliciter une base de l'espace des fonctions continues affines par morceaux sur [0,1] (ou sur n'importe quel segment bien sûr).

@Nîme-Man : je trollerais bien avec toi. Autant je comprends qu'on s'intéresse à ce qui reste vrai sans l'axiome du choix,
autant je ne vois pas pourquoi on fuirait l'axiome du choix pour d'obsures raisons. Son énoncé le rend plutôt acceptable, certains conséquence (Banach-Tarskipar exemple) un peu moins, et alors ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept années et a été effectuée par PB.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
Une base des fonctions affines par morceaux sur [a,b], c'est de la forme (x->x, x->1) sur une subdivision de [a,b] où la fonction est continue ?
Comment relies-tu le cardinal de |R à la dimension de cet espace ?
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
Pour exhiber une base de l'espace des fonctions continues affines par morceau sur un intervalle [a, b], voir ce fil de discussion

fonctions continues et affines par morceau

La dimension de cet espace est infinie



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept années et a été effectuée par joel_5632.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
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Citation
PB
@Nîmes-Man : je trollerais bien avec toi. Autant je comprends qu'on s'intéresse à ce qui reste vrai sans l'axiome du choix, autant je ne vois pas pourquoi on fuirait l'axiome du choix pour d'obsures raisons.

Ce n'est pas ce qui m'apparaissait à la lecture de ton premier message. Tu y écrivais "on ne sait pas expliciter une telle base". Pourquoi écrire une telle chose, alors que le lemme de Zorn permet précisément d'en expliciter ?
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
Bonsoir Nîmes-Man.

Manifestement, tu as une conception de "expliciter" bien abstraite. Assez proche en fait du "j'ai pas vu, j'ai pas lu, mais j'ai entendu parler" de Delfeil de Ton.

Soit une de tes bases "explicites" (vas-y, choisis-en une). prenons une fonction continue particulière (celle que j'ai en tête). Comment sait-on si elle fait partie de ta base ou non ?
Bien entendu, j'espère une réponse explicite à cette question :)

Pour l'espace des polynômes, c'est facile.

Cordialement.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Cher Gérard,

J'ai vu, j'ai lu, mais j'ai quand même réfléchi. On a le droit, en maths.

Ta question m'est absolument incompréhensible. J'en déduis qu'effectivement nous n'avons pas la même définition du mot "expliciter". Je te donne la mienne : je dis qu'on peut expliciter un objet lorsqu'on peut démontrer son existence.

Il y a plusieurs cadres démonstratifs possibles (formels ou informels) : ma définition est donc relative à un cadre démonstratif donné. Il semble que dans ce fil le cadre démonstratif proposé par ZFC convienne à tout le monde : j'accepte donc, si tu tiens à ce que je te donne une définition la plus fermée possible, qu'on s'y restreigne ici (il y aurait pourtant des choses intéressantes à dire sur ce que donne ma définition dans le cadre des mathématiques constructives, on pourra y revenir plus tard).

La définition que je viens de te donner est certes infiniment critiquable, et tes critiques à son sujet seront évidemment extrêmement bienvenues ; mais pour qu'elles me soient compréhensibles, j'apprécierais que tu me donnes avant tout ta définition du mot "expliciter" (si de plus tu pouvais ne pas commencer ta réponse par le mot "désolé", j'apprécierais grandement).
JLT
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
"Expliciter", dans l'esprit de la plupart des gens signifie au minimum caractériser de manière non ambiguë. Tu as dit

Citation

celles qui sont données par l'application du lemme de Zorn

Alors qu'il faudrait en donner une (et exactement une).
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Merci JLT pour cet embryon de définition (je ne comprends pas ce que tu as voulu dire par "au minimum" et ferai donc comme si cette locution n'était pas dans ta réponse).

Il est vrai que j'ai mentionné plusieurs bases et non une seule, et je reconnais qu'on pourrait changer ma définition en remplaçant "démonter son existence" par "démontrer son existence et son unicité". On obtiendrait une autre définition du mot "expliciter", mais je n'ai pas l'impression que ce soit la tienne (ou celle de Gérard, ou celle de PB).

Le point important est que je ne comprends pas bien ce que signifie pour toi l'expression "non ambiguë". Pourrais-tu me le préciser ?

Voici un exemple pour t'aider à me préciser ce que tu as voulu dire. Théorème : il existe un unique entier k qui vaut 0 si toute partie de R [edit : contenant N] est en bijection avec N ou bien en bijection avec R, et qui vaut 1 s'il existe une partie de R [edit : contenant N] qui n'est ni en bijection avec N ni en bijection avec R. Mon théorème est-il vrai ? Si oui, ai-je défini un entier k de façon non ambiguë ?
AD
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Bonsoir Nîmes-man
{0} est une partie de R ni en bijection avec N, ni en bijection avec R. Donc pour moi ton k vaut 1.
C'est explicite et non ambigu.
Mais tu as sans doute caché une subtilité qui m'échappe (voulais-tu parler de parties infinies ?).
Alain
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Pour bien insister sur le fait que c'est l'ambiguïté qui pose problème, et pas le défaut d'unicité, je considère l'ensemble de mes bases. D'après le théorème de Zermelo, il est bien ordonné. Je considère l'unique pus petit élément de mon ensemble.

Hop, j'ai décrit une unique base (mais de façon ambiguë j'imagine, jusque je n'ai pas précisé lequel des bons ordres donnés par Zermelo je considérais).

Pour AD, je voulais parler de parties de R contenant N. J'ai posté trop vite, mea culpa !
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
Nîmes-Man,

je me suis contenté d'utiliser la définition habituelle du mot expliciter : "rendre explicite, plus clair, formuler en détails" (petit Larousse 1995).
Démontrer l'existence rend implicite l'objet. De implicite , "qui est contenu dans une proposition sans être exprimé en termes précis, formels; qui est la conséquence nécessaire"(idem).

Maintenant, si tu décides que pour toi ces deux mots ont un autre sens que pour tout le monde, d'accord, mais alors tu es d'accord avec PB : tu ne sais pas donner une caractérisation de tes éléments de la base qui permette de décider pour une fonction donnée si elle en fait partie ou pas (cette formulation de "explicite" serait rejetée par pas mal de grammairiens). Ne parlons pas de les décrire !!!

Donc on attend que tu donnes le détail du contenu d'une de ces bases ....

Cordialement.

Nb : connais-tu le "théorème des fonctions implicites" ?
PB
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Citation
Nîmes-man
D'après le théorème de Zermelo, il est bien ordonné
Non, il est bien ordonnable ;)

PS : "expliciter" est pour la plupart une notion "méta-mathématique". Ce doit être un casse-tête de logiciens d'en donner une définition mathématique. Montrer une existence c'est clair, expliciter c'est pas très clair… mais tout le monde comprend (ou fait semblant).
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Citation
PB
tout le monde comprend (ou fait semblant).

J'ai bien peur que tout le monde fasse semblant.

Je nuance : il y a des gens qui ont vraiment réfléchi sérieusement à cette question. Ils font des mathématiques "explicites", mais ils donnent à ce mot un sens précis. Cela s'appelle les mathématiques constructives.
H
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
J'utilise également "explicite" quand l'objet est unique et décrit par une formule close ou par une propriété raisonnablement simple (qui . Je n'en donne pas de définition et je n'hésite pas à parler de "relativement explicite" ou de "explicite mais inexploitable" pour une formule par exemple.

Je n'avais jamais observé de désaccord profond auparavant sur l'usage de ce terme :) Tu es plutôt logicien Nîmes-nam ?

Même si la notion est très subjective, il me semblait que la plupart des gens s'accordaient pour dire que dans "x=2", x est explicite tandis que dans "l'axiome du choix montre l'existence de x" ou "un résultat de compacité montre l'existence de x", x n'est a priori pas explicite.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept années et a été effectuée par AD.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Pour répondre à H :

vanilla-sky a demandé si on connaissait des bases de $\mathcal{C}([a,b],\R)$.
PB (qui en connaissait) a répondu "je parie que non, on ne sait pas expliciter une telle base".

C'est une curieuse réponse. Il me semblait que la question de vanilla-sky portait clairement sur un résultat d'existence, mais la chose pertinente sur laquelle a voulu insister PB, c'est que bien que la réponse à cette question d'existence fût affirmative, il fallait répondre non à cause d'un problème d'explicitation, problème qui n'était pas soulevé par vanilla-sky et dont PB a fini par convenir qu'il n'était pas de nature mathématique.

J'ai souhaité :
1) donner la réponse à la question mathématique qui était posée
2) troller un peu

C'est fait.


PS : je suis un fan de PB dont j'adore le blog, j'espère qu'il ne m'en voudra pas pour mon troll (mais il a dit qu'il voulait bien troller avec moi alors...).
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Bonsoir,

il est assez compliqué de trouver une base sur $C([a;b])$. Parce que ta base ne sera pas dénombrable, cela découle du lemme de Zorn (il a un nom de personnage de SF celui là). Par contre tu peux te renseigner sur ce qu'on appelle les bases de Shauder. il est possible dans certain espaces de dimension infinie d'écrire les éléments de cet espace comme somme de série.
JLT
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Exercice : trouver une base de l'espace des fonctions rationnelles de $[a,b]$ dans $\R$.
H
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
@Nîmes-nam : en fait quand j'ai écrit mon précédent message, je n'avais pas vu ton avant dernier message et donc je n'avais pas vu que tout le monde s'était à peu près compris entre temps.

Mais sinon, je comprends la question initiale comme "peut-on expliciter une base ..." (!). Je ne la comprends pas comme "existe-t-il une base ...". Mais qu'a voulu dire vanilla-sky finalement !?

Sur l'espace des polynômes, on a une base explicite : $(P_n)_{n \in \N}$. L'ensemble des indices est explicite et, pour chaque indice, on sait exactement qui est mon vecteur. On n'a pas ça avec l'espace des fonctions continues de $\R$ dans $\R$. Ce n'est pas parce que ça n'a pas de sens mathématique que ce n'est pas pertinent :)
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Si les "fonctions rationnelles" sont les applications canoniquement associées à une fraction rationnelle, la plus grosse difficulté sera de décrire la structure d'espace vectoriel...

S'agit-il bien de cela ?
JLT
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Non, il n'y a pas de difficulté à mon exercice, c'est juste pour arrêter les discussions trollesques et poser un exercice de maths (faisable).
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
S'agit-il bien des applications canoniquement associées à une fraction rationnelle ?

NB : contrairement à ce que tu sembles penser, les mathématiques constructives, c'est réellement intéressant, et j'invite ceux qui aimeraient donner un sens mathématique au mot "expliciter" à s'y plonger.
JLT
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Citation

S'agit-il bien des applications canoniquement associées à une fraction rationnelle ?

Oui c'est ça.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Si $a=b$, l'espace considéré est une droite vectorielle. Facile.

Si $a<b$, toute la difficulté est de définir la structure d'espace vectoriel sur l'ensemble d'applications considéré. Pour l'addition, il ne s'agit pas de l'addition point par point (qui ferait que $x\mapsto -\dfrac{1}{x}$ n'est pas l'opposé de $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ par exemple, car l'application nulle est définie sur $[a,b]$ tout entier) mais du prolongement par continuité maximal de celle-ci. Même chose pour la multiplication par un scalaire. On est alors ramené à trouver une base de l'espace des fractions rationnelles, ce qui n'est pas très difficile pour qui a déjà entendu parler de décomposition en éléments simples (et infaisable pour les autres).
PB
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
L'espace des fonctions en question s'identifie à l'espace $\mathbb R(X)$ (peu importe l'intervalle $[a,b]$, du moment que $a<b$). Du coup, la décomposition en éléments simples fournit une base, qu'on peut qualifer de canonique. J'ai bon ?
Siméon
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
Je me jette aussi dans l'arène, du côté des plus nombreux (pas fou, hein !). Je trouve que le verbe exhiber est moins ambigu que expliciter, en tout cas dans le sens qu'on lui fait porter en maths : j'exhibe un contre-exemple, j'exhibe une base. Néanmoins, je parlerai à tous les coups de solution explicite. Difficile de communiquer...
H
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
Citation

qu'on peut qualifer de canonique.

Quelqu'un pourrait-il m'exhiber une définition explicite de "canonique" ?
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Citation
Siméon
Difficile de communiquer...

Pas tant que ça : les maths proposent justement un langage qui rend la communication "non ambiguë" possible. Si bien sûr on préfère ne pas l'utiliser, c'est une autre affaire...


Citation
H
Quelqu'un pourrait-il m'exhiber une définition explicite de "canonique" ?

:D:D:D
JLT
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Oui c'est bien la décomposition en éléments simples que j'avais en tête.

C'était juste pour dire que dans certains cas on pouvait expliciter une base, malgré la non-dénombrabilité de la dimension de l'espace vectoriel, et bien qu'il n'y ait pas a priori de base qui saute aux yeux.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Fallait le dire que c'était un exo spécialement préparé pour Amédé.
JLT
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
@H : pour moi, "canonique" et "fonctoriel" c'est à peu près la même chose.
PB
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
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Base canonique c'est, je pense, une définition, un nom qu'on donne à une base particulière, plus jolie que les autres.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Pour l'exo de JLT j'ai souvenir que dans le Monier il y a cet exercice.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
Une remarque que j'ai déjà faite :

dans certains domaines, des mathématiciens définissent des notions pour lesquelles ils utilisent des mots du français courant dans un sens technique. Autant il est normal que dans ce contexte, le mot ait le sens technique, autant il est anormal (et c'est un troll très malsain, proche de la mégalomanie : "moi je sais") d'exciper de ce sens dans une discussion en langage courant.

Désolé, Nîmes-Man, mais ça t'a fait baisser dans mon estime. Même si tu t'en moques.

Plus gênant : ça contribue à éloigner du forum les lycéens et étudiants, dont les questions finissent noyées dans un débat absurde.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Citation
gérard0
Désolé, Nîmes-Man, mais ça t'a fait baisser dans mon estime. Même si tu t'en moques.

Ton estime m'est précieuse. Je regrette que tu n'aies pas compris mon propos. J'ai pointé quelque chose du doigt, tu regardes mon doigt.

Le vrai critère d'obstruction à l'explicitation, ce n'est pas l'axiome du choix, c'est le tiers exclus. Beaucoup de matheux n'en ont pas conscience, et continuent à considérer qu'on ne peut pas expliciter une base de Hamel (par exemple), alors qu'on peut expliciter deux irrationnels $a$ et $b$ tels que $a^b$ soit rationnel par une disjonction des cas (par exemple).

J'ai voulu te faire prendre conscience de cela, à toi et à d'autres. Apparemment je n'y suis pas parvenu et j'en suis bien déçu, même si tu t'en moques.

Je garde néanmoins l'espoir que mes interlocuteurs, contrairement à ce qui m'est apparu ici, ont en fait bien conscience que le problème que pose le tiers exclus est de même nature que celui posé par l'axiome du choix, et trouveraient tout aussi "non explicites" les objets obtenus à l'aide de celui-ci, c'est-à-dire la plupart des objets dont il est question en mathématiques classiques (même si la plupart des raisonnements classiques ont une essence constructive et peuvent se "constructiviser"). Je préfère penser que mes messages étaient complètement inutiles plutôt que de penser qu'ils auraient pu servir à quelque chose si je les avais mieux tournés.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
Oui désolé, quand j'ai posé la question , c'était ambigu.
Je me demandais s'il existait des bases de cet espace, et dans ce cas, si on pouvait ou non en expliciter les éléments.
Se donnant une quelconque fonction continue sur [a,b] , s'il est possible de la décomposer dedans.
Soit (Pi)i€J une base de l'espace, (sous réserve d'existence mais d'après vous il en existe selon de lemme de Zorn), peut on:
1) connaitre explicitement les Pi, c'est-a-dire écrire " pour tout t dans [a,b], pour tout i dans J, Pi(t) = ..."
2) connaitre les composantes dans cette base de notre fonction, c'est-a-dire les scalaires (ai)i€J tel que notre fonction s'écrive de manière unique f=Somme(i€J)[ai.Pi]
Siméon
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
Comment ne pas répondre à la question tout en y répondant (ou l'inverse) :
Pour toute fonction continue $f \neq 0$, il existe une base de $C([a,b])$ contenant $f$. De façon plus générale, toute famille libre de fonctions continues peut être complétée en une base de $C([a,b])$.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
Nîmes-Man,

J'avais bien compris ton propos (que je partage en partie) et je te donne acte du fait que tu avais une vraie idée épistémologique en tête. Mais ce n'était pas le lieu. Et d'ailleurs, tu n'avais pas répondu (pour cause) à mes propositions d'éclaircissement par des exemples. Vanilla-Sky repose en des termes différents la même question. J'espère que tu vas lui répondre ...

Mais je maintiens que ce genre d'incidentes tue le forum à petit feu.

Cordialement.
PB
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Citation

tue le forum à petit feu
Il y a des fils de discussion où un clown prétend démontrer le théorème de Fermat ou autre conjecture de Goldbach qui, à mon avis, tuent le forum à feu moyen smiling smiley
zorg69
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
Et?....
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
PB,

les étudiants qui veulent progresser en maths posent des questions. Ils ne passent pas (contrairement à nous :)-D ) leur temps sur ce genre de fils. Mais si leur question se perd dans ce qui ressemble à une discussion de spécialiste ...

Cordialement.

NB : j'y ai contribué ici :D
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Citation
gérard0
J'avais bien compris ton propos.

Je t'en donne acte mais j'en rajoute quand même une couche.

Les mathématiques que l'on pratique, les mathématiques que l'on enseigne, sont truffées de raisonnements de ce genre, sans qu'on vienne reprocher à quiconque quelque défaut d'explicitation que ce soit.

L'ensemble des racines réelles du polynôme $aX^2+bX+c$ est :
-> $\left\{\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right\}$ si $b^2-4ac>0$,
-> $\left\{\dfrac{-b}{2a}\right\}$ si $b^2-4ac=0$,
-> $\emptyset$ si $b^2-4ac<0$.

Ai-je décrit explicitement l'ensemble des racines réelles de $aX^2+bX+c$ ?

Si un lycéen ou un collégien vient sur le forum demander si on connait les solutions de l'équation $aX^2+bX+c=0$, dois-je lui répondre que non, on ne peut pas expliciter ces solutions ?

Autre exemple : JLT a évoqué (de façon implicite) les espaces vectoriels de la forme $\R^{(I)}$ des applications presques nulles de $I$ dans $\R$ : sûrement ces espaces ont une base explicite, la base formée des applications nulles partout sauf en un point de $I$ où elles valent $1$, qu'on peut sans souci identifier à $I$. Ainsi connaît-on certainement une base explicite de l'espace $\R^{(\R)}$, base qui s'identifie à $\R$. L'ensemble $\R$ serait donc explicite, alors même que le problème de l'égalité de deux réels est indécidable. Cela peut ne pas te choquer, mais ça ne colle pas au sens courant du mot explicite que tu as donné, tel que je le comprends.


Citation
gérard0
Mais ce n'était pas le lieu.

Quel est le bon lieu pour discuter de mathématiques, si ce n'est pas ici ? C'est une question sérieuse.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
Pour être clair :

Quand une question d'un étudiant (ou autre, disons non spécialiste) pose un problème de spécialiste, pourquoi ne pas faire un autre fil. Beaucoup le font. Et répondre au questionneur dans des termes qu'il peut comprendre.

Pour tes questions : les solutions de l'équation sont explicitement données (le fait qu'il y ait des paramètres ne pose pas de problème, puisqu'ils y sont dès le début).
Idem pour les fonctions nulles sauf en un nombre fini de valeurs. D'ailleurs les questions de Vanilla-sky ont une réponse.

J'ai surtout l'impression que tu es parti sur une signification bien particulière de "explicite" et que tu y tiens. Sans accepter de revenir au français courant.

Bon, je ne reviendrai pas sur le sujet, je n'ai pas de réponse à donner à vanilla-Sky, et personne n'en donne.

Cordialement.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Citation
gérard0
Bon, je ne reviendrai pas sur le sujet, je n'ai pas de réponse à donner à vanilla-Sky, et personne n'en donne.

J'en ai donné une. Ce n'est pas parce qu'elle te déplaît qu'elle est incorrecte.


Citation
gérard0
Pour tes questions : les solutions de l'équation sont explicitement données (le fait qu'il y ait des paramètres ne pose pas de problème, puisqu'ils y sont dès le début).

Si les coefficients $a$, $b$, $c$ appartiennent à $\Q$, où à tout autre sous-corps de $\R$ pour lequel la relation $<$ est décidable, j'ai effectivement donné un procédé explicite de description des solutions.

L'inégalité stricte entre deux réels (pour la signification courante donnée au mot "réel") est par contre indécidable. si les coefficients sont supposés réels, les solutions que j'ai données ne sont donc pas plus explicites que mon entier $k$ dépendant de l'hypothèse du continu, ou même que les bases de $\mathcal{C}([a,b],\R)$.

Je trouve très malsain (et très peu scientifique) d'avoir une position à mi-gué. Soit on accepte les raisonnements non constructifs, et alors tout ce qui existe (classiquement) a droit de cité. Soit on les refuse, mais alors on en assume toutes les conséquences, et plus grand-chose dans les maths telles qu'on les enseigne ne doit être considéré explicite.

Bien sûr, on pourrait enseigner les maths autrement : mais c'est un autre débat.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
snif j avais pas vu ce troll sympatique. Je soutiens pleinement NM dans ses remarques et precisions. Je ne comprends pas ta charge Gerard.

Il a d autant plus raison, que non content qu on ne puisse pas prouver que les mots vagues evoques ont un sens, je signale QU ON PEUT PROUVER qu ils n en auront jamais (ie toute theorie qui pretendrait les formaliser est contradictoire). D un pc je posterai la preuve, s il le faut

Je mets en garde contre les pubs pour les soit disant maths constructives. Meme s il y en a des courageuses et honnetes, leurs auteurs ont tendance a mentir, ie a envoyer des slogans excessifs pour les vanter. Il y en a deus sortes:

1) celles non formalisees (donc en fait nulles et non avenues en science)
2) Les plus serieuses. Mais elles manquent toujours un objet CONSTRUCTIBLE par exces de severite

In fine on retombe sur exactement le meme "trou noir" que la "banale diagonale" des Cantoro-Godelismes

Rappel a Gerard: dans ces enonces d analyse il y a bcp d alternances de quantificateurs, ce n est pas juste un "exists" qui est en jeu. le "non" est juste un echange de joueur entre qui defend vrai et qui defend faux et le tiers exclus est constructif dans le sens trivial qu un double echange ramene les adversaires en position initiale, rien de plus.

Exercice: prouve (SANS AC!!!) qu il n existe pas de fonction f qui a chaque famille associe une attestation que ce n est pas une base (ie une liaison ou un vecteur non dans )

En bref, dirais tu qu il n y a pas de strategie optimale aux echecs parce que bien qu en prouve trivialement l existence, on en connait pas a l heure actuelle

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe c.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
avatar
Citation
gérard0
Quand une question d'un étudiant (ou autre, disons non spécialiste) pose un problème de spécialiste, pourquoi ne pas faire un autre fil. Beaucoup le font.

Je te donne totalement raison sur ce point, mais je réagissais à une prise de position de PB, qui le premier a (il me semble) exprimé une position de spécialiste (il a laissé entendre qu'il ne serait pas surpris que l'existence d'une telle base impliquait une version faible de l'axiome du choix).

Si PB avait ouvert un autre fil pour poster sa réponse, j'aurais réagi sur l'autre fil.

Je n'ai pas d'objection à ce que la discussion présente soit scindée en deux fils si un modérateur venait à avoir le courage de procéder à une telle opération. Bien au contraire.
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
@ vanilla sky (tres bon film d ailleurs )

ta question n a pas de sens.

Pour tenter de lui donner un sens mathematique, il pourrait etre demande par exemple: estce que l existence d une base de.cet espace est consistent avec AD? etc etc

Mais je crains que tu n avais pas envisage ces peregrinations. Je ne sais pas la maintenant mais comme PB je n ai pas l impression que l existence.d une base peut etre prouvee dans ZF seul (ie sans axiome du choix). Mais il resterait a le prouver

Par ailleurs une preuve meme sans axiome du choix ni tiers exclus n aboutit pas forcement a "un truc explicite" comme tu le desires.

Ta question n a donc vrmt pas de sens. Avec.une fonction choix, la reponse est oui a tous tes items, mais decevante affectivement pour toi j imagine

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Base des fonctions continues
il y a sept années
@rooo ca va c est pas parce que Gerard a fait une remarque acariatre que c est vrai: ici l etudiant cest vanillasky, il a pose une question qui meritait cette fumee et y a pas de rapport avec la.fuite des.etudiants (ils manquent a qui?? :D )

La degradation vient plus du crash du secondaire qui ICI se manisfeste sous le degat collateral d un pullulement de vagues questions sans grand sens math ni interet dans les rubriques stats probas,etc et surtout tournees dans une forme a la fois purement utilitaire et impatiente genre "qui vend un tournevis c15", donc forcement le public habituel s est lasse

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
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