Logarithme de matrice

B est le logarithme de A si l'exponentielle de B est A. Dans le cas complexe, A possède un logarithme <=> A inversible

Bonjour,

Voici une condition suffisante.

Pour une matrice symétrique définie positive $A \in M_n(\R)$, soit $(e_1,..,e_n)$ une base de vecteurs propres de $A$, chaque vecteur propre $e_i$ est associé à la valeur propre $\lambda_i$. $P$ est la matrice de passage de la base canonique de $\R^n$ à la base $(e_i)$, alors tu poses : $$Log(A) = PDP^{-1}$$ avec $$D=$Diag$(Log\lambda_i).$$

Cette définition est indépendante du choix de la base $(e_i).$

Tu as $exp(Log(A))=A$.

De même si $B$ est symétrique, $Log(exp(B))=B$.

Réf : LFA - T1 - Algèbre.

Amicalement.

On peut aussi voir la question initiale du point de vue des séries de matrices.

Ainsi, si on choisit une norme d'algèbre sur $M_n(\C)$, alors, pour toute matrice $A$ vérifiant $\vert\vert A-I_n\vert\vert <1$, on peut définir $$\ln(A)=\sum_{k\geq 0}\frac{(-1)^k}{k+1}(A-I_n)^{k+1}.$$ Dans ce cas, on a aussi $e^{\ln(A)}=A$