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Logarithme de matrice

Envoyé par fubeK 
fubeK
Logarithme de matrice
il y a six années
Bonjour ,
pouvez-vous me dire brièvement les conditions que doit vérifier une matrice pour pouvoir définir son logarithme ?
Je vous remercie.
Fubek.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par AD.
PB
Re: Logarithme matricielle
il y a six années
avatar
Bonjour, qu'entends tu par : pouvoir définir le logarithme ?
(si je pose log(A):=2, j'ai défini le logarithme de A, c'est débile mais c'est une définition)
Re: Logarithme de matrice
il y a six années
B est le logarithme de A si l'exponentielle de B est A. Dans le cas complexe, A possède un logarithme <=> A inversible
Re: Logarithme de matrice
il y a six années
avatar
Le problème, comme souvent, c'est qu'il n'y a pas forcément unicité de ce logarithme lorsqu'il existe...
bs
Re: Logarithme de matrice
il y a six années
avatar
Bonjour,

Voici une condition suffisante.

Pour une matrice symétrique définie positive $A \in M_n(\R)$, soit $(e_1,..,e_n)$ une base de vecteurs propres de $A$, chaque vecteur propre $e_i$ est associé à la valeur propre $\lambda_i$. $P$ est la matrice de passage de la base canonique de $\R^n$ à la base $(e_i)$, alors tu poses : $$Log(A) = PDP^{-1}$$ avec $$D=$Diag$(Log\lambda_i).$$

Cette définition est indépendante du choix de la base $(e_i).$

Tu as $exp(Log(A))=A$.

De même si $B$ est symétrique, $Log(exp(B))=B$.

Réf : LFA - T1 - Algèbre.

Amicalement.
Re: Logarithme de matrice
il y a six années
avatar
Je crois même que dans ce cas (c'est-à-dire le cas où B est symétrique et A symétrique définie positive) exp(B)=A est équivalent à B=Log(A).
Re: Logarithme de matrice
il y a six années
avatar
On peut aussi voir la question initiale du point de vue des séries de matrices.

Ainsi, si on choisit une norme d'algèbre sur $M_n(\C)$, alors, pour toute matrice $A$ vérifiant $\vert\vert A-I_n\vert\vert <1$, on peut définir $$\ln(A)=\sum_{k\geq 0}\frac{(-1)^k}{k+1}(A-I_n)^{k+1}.$$ Dans ce cas, on a aussi $e^{\ln(A)}=A$
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