Relation de Jacobi

Ce n'est pas une question naïve, c'est toujours bien de se demander quelle est la raison d'être des définitions.

La réponse la plus simple, c'est que dans une algèbre associative, en particulier une algèbre de matrices, le commutateur $[A,B]=AB-BA$ vérifie cette relation, Et en un certain sens toutes les relations non triviales communes à tous les commutateurs de toutes les algèbres associatives sont conséquence de ça.

Une façon très similaire de le voir: si tu notes $ad_x$ l'opérateur $y\mapsto [x,y]$, alors la relation de Jacobi dit exactement que $ad_x\circ ad_y-ad_y\circ ad_x=ad_{[x,y]}$.

Il faut aussi penser aux éléments d'une algèbre de Lie comme étant des "dérivées" de transformations provenant d'un groupe de Lie. Si tu as un groupe de Lie qui agit sur quelque chose, la "différence" entre deux éléments infiniment proches est un élément de l'algèbre de Lie. De fait on peut intérpréter une algèbre de Lie comme des opérateur différentiels sur un groupe de Lie, et de ce point de vue Jacobi n'est autre que la relation de Leibniz, la généralisation de la formule qui te donne la dérivée d'un produit de fonctions.

De rien, j'ai modifié mon message il y'avait une typo.

Quant aux référence biblio disons que c'est assez standard, même si pas forcement dit explicitement... Le coup de l'opérateur $ad$ donne ce qu'on appelle la représentation adjointe: je t'ai dit que si $V$ est un espace vectoriel, alors $End(V)$ est une algèbre de Lie via le commutateur, et qu'en quelque sorte les algèbres de Lie étaient modelées la dessus. La représentation adjointe est une réalisation concrête de cette idée en te donnant un morphisme d'algèbre de Lie de $\mathfrak g$ dans $End(\mathfrak g)$ ou dans $End(\mathfrak g)$ on voit $\mathfrak g$ comme un simple espace vectoriel. Si $\mathfrak g$ est de centre trivial (par exemple si elle est ce qu'on appelle semi-simple) ce morphisme est injectif. Dans le cas général d'une alg de Lie de dimension finie, on peut toujours trouver un morphisme injectif vers un certain $End(V)$. Donc en quelque sorte toutes les algèbres de Lie de dimension finie sont des algèbres de matrices. (C'est le théorème d'Ado).

En ce qui concerne les opérateurs différentiel c'est essentiellement la définition de l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie: c'est l'espace des champs de vecteurs invariants à gauche sur le groupe de Lie.