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Variété riemannienne

Envoyé par zazacalam 
Variété riemannienne
il y a six années
Bonjour tout le monde,

Une variété riemannienne est une variété différentielle $M$ munie d'une métrique riemannienne (produit scalaire défini positif sur tout espace tangent $T_xM$ qui est $C^{\infty}$).

Quelqu'un peut-il m'aider à construire une métrique riemannienne sur $M$ ?

Merci
Re: variété riemannienne
il y a six années
Bonjour,
le terme défini positif (barré) n'est il pas indispensable?
Re: variété riemannienne
il y a six années
avatar
Bonsoir,

Qu'est-ce qu'un produit scalaire ?

Avec tout mon respect,

Thierry
Re: variété riemannienne
il y a six années
Bonjour M. Thierry,

C'est une forme bilinéaire symétrique définie positive.

Dans le texte original, il est écrit " Une métrique riemannienne sur une variété différentiable est le choix d'un produit scalaire défini-positif < , >m sur tout espace tangent Mm . . ."
Donc défini positif n'a pas de sens ici.

Voilà en fichier attaché ma démarche pour monter que toute variété différentiable M possède une métrique riemannienne.
Merci pour les corrections.
[attachment 29127 mtrique-riemannienne.pdf]
[Contenu du fichier pdf joint. AD]
[attachment 29128 metriqueRiemannienne.png]
Re: variété riemannienne
il y a six années
avatar
Bon, désolé de te décevoir, mais cette preuve c'est du grand n'importe quoi.
En gros, je vais résumer la preuve que tu as essayé de faire, mais qui est écrite n'importe comment :
Tu prends un point de ta variété, tu regardes l'espace tangent en ce point, qui ressemble à $\R^n$, et là dessus en utilisant une base "canonique", tu prends le produit scalaire "usuel". Et donc tu te dis que tu as défini une métrique riemannienne. L'idée paraît séduisante mais c'est évidemment beaucoup trop simple.
Le problème, c'est qu'il manque le caractère $C^\infty$ de ta métrique.
Maintenant, il faudrait définir très précisément ce qu'est une métrique riemannienne.
Entre quels objets cette bête est-elle définie ? Il existe plusieurs définitions possibles.
Par exemple, sur les pages française et anglaise de l'article métrique riemannienne de wikipédia, ce ne sont pas les mêmes. La preuve que tu cherches est faite sur la page française.
Re: variété riemannienne
il y a six années
Merci Philippe j'ai vu la preuve sur la page wikipédia.
Cordialement,
zazacalam
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