Variété riemannienne

Bonsoir,

Qu'est-ce qu'un produit scalaire ?

Avec tout mon respect,

Thierry

Bon, désolé de te décevoir, mais cette preuve c'est du grand n'importe quoi.
En gros, je vais résumer la preuve que tu as essayé de faire, mais qui est écrite n'importe comment :
Tu prends un point de ta variété, tu regardes l'espace tangent en ce point, qui ressemble à $\R^n$, et là dessus en utilisant une base "canonique", tu prends le produit scalaire "usuel". Et donc tu te dis que tu as défini une métrique riemannienne. L'idée paraît séduisante mais c'est évidemment beaucoup trop simple.
Le problème, c'est qu'il manque le caractère $C^\infty$ de ta métrique.
Maintenant, il faudrait définir très précisément ce qu'est une métrique riemannienne.
Entre quels objets cette bête est-elle définie ? Il existe plusieurs définitions possibles.
Par exemple, sur les pages française et anglaise de l'article métrique riemannienne de wikipédia, ce ne sont pas les mêmes. La preuve que tu cherches est faite sur la page française.