étymologie de covariant et contravariant

pluton · July 2013

Bonjour,

je suis en train de lire un peu d'analyse tensorielle et je m'interroge sur les termes covariant et contravariant, dans leur utilisation première, à savoir tenseurs d'ordre 1 covariant et contravariant. Je comprends bien comment ils sont définis mathématiquement, mais je ne comprends pas trop l'idée de "varier avec" ou "varier contre". J'ai beaucoup cherché en ligne quelques explications sur cette terminologie, mais en vain jusqu'à présent.
Notamment ce document Méthodes Mathématiques pour Physiciens discute cet aspect pages 8, 9 et 10 mais de façon assez floue il me semble. Connaitriez-vous une explication claire et concise ?

merci

AlbanV · July 2013

Bonjour,

Ce que j'ai lu : les composantes covariantes d'un vecteur se transforment comme les vecteurs de base (on est dans un espace vectoriel), c'est à dire avec la même matrice de passage, et les composantes contravariantes avec la matrice inverse.
Je ne sais plus où j'ai lu ça, peut-être dans un petit livre intitulé "Initiation progressive au calcul tensoriel" de Claude Jeanperrin aux ed. Ellipses

pluton · July 2013

ah oui, il est dit quelque chose de similaire dans le lien que je donne. Je vais relire à la lumière de ce que vous dites. Merci pour la référence aussi.

AlbanV · July 2013

Re,

Un conseil, n'achetez pas ce livre sans le feuilleter avant. D'ailleurs, je ne suis pas sur qu'il soit encore édité....

Sinon, sur http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors on trouve :

A contravariant vector is required to have components that "transform in the same way as the coordinates" (the opposite way as the reference axes) under changes of coordinates such as rotation and dilation.

et

By contrast, a covariant vector has components that change oppositely to the coordinates or, equivalently, transform like the reference axes.

Ca reste très "avec les mains" et si un vrai mathématicien (je ne suis que physicien) a une autre explication, ça m'intéresse aussi.

Mauricio · July 2013

C'est une terminologie ambiguë. Je trouve qu'il vaut mieux spécifier de quel tenseur il s'agit. Ci-joint un texte très provisoire, je ne sais si ça pourra t'aider. En tout cas dans le texte, j'utilise la terminologie type (n,p) plutôt que n fois covariant et p fois contravariant.

pluton · August 2013

@albanv: en effet, j'avais lu cette définition sur wikipédia mais elle m'avait paru bien floue. Je crois que j'ai besoin d'un exemple. Sinon, le livre coûte environ 17€. Quelles sont vos craintes ?
initiation progressive au calcul tensoriel

@Mauricio: proposer plein de petits exercice au fil du texte est une très bonne idée, pour les novices. En fait, j'ai l'impression qu'il existe autant de manières de présenter les tenseurs que d'auteurs. Vas-tu ajouter le tenseur métrique ?

étymologie de covariant et contravariant

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