Récréation anneaux

christophe c
christophe c
dans Algèbre
Voici un petit exercice récréatif qui m'a été inspiré par l'ANS pendant un trajet en train non climatisé.

Soit A un anneau commutatif, unitaire, intègre et compact (muni dune topologie séparée compacte rendant ses opérations continues).
Prouver qu'il est local et qu'il ne peut être connexe que s'il est un corps (son unique idéal maximal est ouvert et fermé).
Construire en outre des anneaux ainsi de cardinal arbitrairement grand.

Et essayer de faire le tout en peu de lignes (je mettrai un petit pdf quand j'aurai internet, le tout semble pouvoir se faire en 2 pages élégantes, mais peut-être y a-t-il encore plus concis ?).

PS : a oui et aussi prouver qu'il y a un ensemble fini d'éléments non inversibles tels que tout diviseur commun de ses éléments est inversible :)-D
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Réponses

  • Maeglin
    Maeglin
    [HS]Après l'aterro et avant le prochain déco, impliquons-nous dans les ultrafiltres d'un espace spectral et une résolution projective par anneaux.[/HS](tu)
  • Foys
    Foys
    Spoiler!!
    La liste de tous les corps commutatifs*localement compacts* est connue.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    @foys: attention c est un peu different ici, il s agit d anneaux pas de corps et ca fait une bonne difference: il y a de tels anneaux arbitrairement grands dont le seul corps qui s en extirpe par exemple est F2

    Essentiellement, en faisant le dernier exo que j ai mis ** on obtient qu un anneau est integre compact ssi il est un anneau de series formelles generalisees*** sur un corps fini muni de la topologie habituelle qui est compacte eventuellement quotiente par un ideal ferme.

    ** d ailleurs mal formule (a cause de mon tel :D ), lire ". . . ou les non inversibles forment un ideal principal"

    *** on prend un ensemble quelconques dit "d indeterminees", un corps fini K et une serie formelle generalisee est une application quelconque de l ensemble des monomes dans K. On munit ca de la somme et du produit que tlm devine et la topologie est la produit de la discrete sur K (lanneau est K^monomes ). Cet exemple est du a un ami, Anatole, eternellement inspire
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  • Foys
    Foys
    oui j'ai mal lu (j'avais cru voir une demande de cns). Bon c'était la remarque culturelle du jour?
    cc a écrit:
    d ailleurs mal formule (a cause de mon tel grinning smiley ), lire ". . . ou les non inversibles forment un ideal principal"

    NB: Si A est un anneau commutatif dont l'ensemble E des non inversibles est un idéal alors A est trivialement local car tout idéal de A est nécessairement contenu dans E (la réciproque est d'ailleurs vraie).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • JLT
    JLT
    Je n'ai pas regardé en détail, mais n'est-il pas vrai que le corps des fractions d'un anneau (commutatif unitaire) intègre compact est un corps localement compact ?
  • Foys
    Foys
    De mémoire les corps locaux (c'est-à-dire localement compacts non discrets) sont isomorphes à l'un des corps suivants
    1. $\R$ ou $\C$
    2. Une extension finie de $\Q_p$
    3. Un corps de séries formelles $K((T))$ où $K$ est un corps fini.

    Dans tous les cas on a un corps de cardinal inférieur à celui de $\R$.

    Pourtant on peut construire des anneaux intègres compacts de cardinal arbitrairement grand (cf exemple de Christophe).

    De façon générale quelle topologie mettre sur le corps des fractions d'un anneau?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    Bon, j'en profite que ma clé 3G ordi a l'air gentille et non bannie ;)

    @JLT, je ne sais pas si on peut étendre la topologie, d'après foys on ne devrait pas pouvoir sinon ça limiterait le cardinal d'un anneau intègre compact

    @foys (ton post d'avant): oui, je suis d'accord sur la localité. Je reprécise l'exercice d'un ordi, ce sera mieux rédigé:

    1) prouver que si A est un anneau intègre commutatif unitaire et compact alors il est local et son idéal maximal $M$ est à la fois ouvert et fermé et constittué des éléments non inversibles

    2) pour aller un peu plus loin, montrer qu'il existe un ensemble fini $F$ d'éléments non inversibles tel que pour tout $a$, si $a$ divise tous les éléments de $F$ alors $a$ divise tous les éléments non inversibles. En tirer les conséquences..

    3) Supposons que $M$ soit principal, ie engendré par un seul élément $d$. Alors il existe un corps fini $K$ tel que tout élément s'écrit sous la forme $a_0 + a_1d^1+a_2d^2+..$ (somme infinie qui converge). En particulier ça limite le cardinal de l'anneau, mais à condition que $d$ existe.

    4) Sinon prendre tout plein d'éléments à la place d'un seul, travailler et obtenir la même chose (séries formelles générallisées)
    Si ma clé 3G marche encore dans quelques dizaines de minutes, je posterai un pdf. Mais attention, ne pas le lire pour ceux qui voudraient s'envoyer en guise d'éxercice tous les alinéas qui précèdent. Ca me semble une bonne activité, pas trop dure, pour qui veut s'amuser à mélanger pls outils (topologie, un poil d'algèbre et un seul calcul de niveau "lycée")
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  • christophe c
    christophe c
    Bon, je ne me suis pas relu, merci si vous trouvez des erreurs de me les signaler, mais avant tout je recommande de ne pas lire pour qui veut faire les questions en exo. Même rédigé en ANS, ça suggère bcp de lire.

    lol le clé 3G a l'air de marcher, le mois d'Aout lui réussit :)

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  • JLT
    JLT
    Voici une preuve alternative que $M$ est ouvert. Soit $m:A\times A\to A$ la multiplication et $p:A\times A\to A$ la première projection. L'ensemble des inversibles de $A$ est $p(m^{-1}(1))$ donc est compact, par conséquent son complémentaire, $M$, est ouvert.
  • christophe c
    christophe c
    Merci pour vos remarques a tous.

    Voici une autre question recreative: peut on borner a priori le cardinal de lensemble des ideaux d un anneau noetherien qui n a qu un seul ideal premier?
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  • Foys
    Foys
    On peut restreindre la recherche en remarquant qu'un tel anneau est aussi artinien (détails plus tard).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    Oui. Penser a un corps K (qui peut etre gros) et a l anneau obtenu en quotientant K[X,Y] par l ideal engendre par X^2; Y^2; XY

    Voici une autre devinette: soit a un cardinal; montrer qu il existe un cardinal b tel que pour tout anneau A ayant moins de a ideaux premiers il existe une partie U de A contenant moins de b elements et telle que pour tout couple (I,J) d ideaux de A si I+J=A alors il existe t dans U tel que t appartient a I et 1-t appartient a J

    edit: jai retire noetherien, qui etait superflu
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  • Maeglin
    Maeglin
    L'idéal premier d'anneau est un radical avec ses propriétés opératoires : http://www.math.ens.fr/~debarre/Algebre2.pdf
  • christophe c
    christophe c
    Excusez l'absence d'accents (mon téléphone), mais je ne résiste pas au plaisir de proposer un autre truc dont j'ai probablement déjà parlé hélas vite fait: les idéaux superpremiers.

    Définition: un idéal est superpremier quand il est premier et ne contient jamais une intersection d'idéaux s'il ne contient pas déjà un des items de l intersection.

    Ce que j'aime bien chez eux, c est (exercices):
    \begin{itemize}

    \item ils sont maximaux

    \item ils sont assez rares mais pas trop

    \item ils sont aux idéaux maximaux ce que les ultrafiltres principaux sont aux ultrafiltres

    \item pour tout idéal $P$ premier et tout idéal $Q$ superpremier et tout idéal $X$, si $P\subset X$, alors $X\subset Q$ (oui oui pas d erreur de frappe); en particulier si un anneau intègre a un idéal superpremier autre que l'anneau entier alors il est local

    \item l'unique idéal maximal d'un anneau local est évidemment superpremier

    \item un anneau noethérien n'a qu'un nombre fini d'idéaux superpremiers

    \item le nombre d'idéaux superpremiers d'un anneau est limité par son indice de noethérianité (c'est la borne sup des générations de ses ideaux, où génération d'un idéal signifie plus petit cardinal d'une famille de ses générateurs)
    \end{itemize}

    What else? Quoi d'autre ? Je suis preneur de toute autre propriété amusante.

    Exo "facile" de mise en jambe: classer les idéaux superpremiers d'un produit de corps.

    [Edit: mise en forme du message. Et arrête de te prendre pour George Clooney ;) Greg.]
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  • christophe c
    christophe c
    Merci Greg!

    Voici un theoreme dont j ignore s il a une preuve academique courte et elementaire. Il est utile dans les affirmations ci dessus, mais a peut etre un interet propre:

    il existe un cardinal c tel que tout anneau sigmanoetherien a au plus c ideaux premiers minimaux.

    "A sigmanoetherien" signifie: tout ideal de A possede un systeme denombrable de generateurs
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  • Maeglin
    Maeglin
    Le terme "sigmanoetherien" n'est trouvé nulle part; ferais-tu par hasard mention à $Spec(R)$ ou à $SL_n(R)$: qui sont des entités distinctes ?
  • christophe c
    christophe c
    jai invente ce mot pour l occasion, mais jen ai donne la definition.

    Jen profite pour dire qu on peut prendre c=cardinal de IR et que la preuve est a peu pres «courte et academique» finalement.
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  • Maeglin
    Maeglin
    Eh bien, quant à moi, j'ai aussi déniché qu'un anneau $R$ est considéré "simple" si ses seuls idéaux bilatères sont $(0)$ et $R$. Mais si on veut encore creuser un peu les anneaux, les cours de M2 feront déjà l'affaire : http://users.skynet.be/sky83817/AnneauxM2.pdf
  • christophe c
    christophe c
    Apres moult discussions telephoniqie :D , il semble presque garanti que:

    pour tout ordinal u il existe un ordinal v tel que pour tout anneau commutatif unitaire A, s il n existe pas d application strictement decroissante de u muni de son ordre naturel (l appartenance) dans T:= l ensemble des ideaux de A muni de l inclusion (autrement dit A a une certaine "artinianite») alors il n existe pas d application strictement croissante de v dans T

    en resume: une tendance a l'artinianite entraine une tendamce a la noetherianite.

    Si quelqu un a envie de s attaquer a ce "mastodonte de phenomene"??

    Ca relance chez moi aussi l envie de connaitre des anneaux artiniens non noetheriens (donc non commutatifs) dans la mesure ou il y a un lien assez philosophique entre le psg classique quantique et le psg commutatif non commutatif

    pardon pour ce.post de mon tel et en haut de ma enieme montagne (je vais les avoir toute faites je crois bien)
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  • GreginGre
    GreginGre
    Je ne comprends pas la dernière question. Tout anneau artinien à gauche/ à droite est noethérien à gauche/à droite, que ton anneau soit commutatif ou non.

    Donc si un anneau est artinien, il est noethérien (si pour toi artinien/noethérien= artinien/noethérien à gauche et à droite)
  • christophe c
    christophe c
    Merci pour cette info! Je préjugeais le contraire par simple ouïe dire culturel vague, je ne savais pas que la commutativité était inoffensive dans cette affaire, je re-regarderai les preuves (déjà présentes entre autre sur le forum) pour recenser ce (non)rôle.

    J'en profite pour proposer un énoncé combinatoire pur : soit E un ensemble et T un ensemble de parties de E stable par réunions et intersections décroissantes (comme les complémentaires des convexes dans un Banach par exemple). Pour abréger on dira que les éléments de T sont des cuvettes.

    Soit k un ordinal. On dira que T est k-noethérien s'il n'existe pas d'application de k dans T strictement croissante (on ordonne T par inclusion). Même définition pour k-artinien en remplaçant croissante par décroissante. On dira que T est séparé quand pour tous a, b différents il existe des cuvettes U, V disjointes telles que a dans U et b dans V.

    exo1 : pour tout k il existe h tel que pour tout E, T k-noethérien et séparé : card(E) inférieur à h (exo facile)

    exo2 : pour tout k il existe h tel que pour tout E, T k-artinien et séparé : card(E) inférieur à h (difficile mais faisable).

    Sucrette (que j'ai trouvée en cherchant un contre-exemple avant de prouver exo2) : soit H un Hilbert et S une intersection de boules de rayon au plus 1 d'intérieur vide (S). Montrer que S est inclus dans un singleton

    Pour exo1 la stabilité par intersections décroissantes n'est pas nécessaire. Pour exo2 je ne sais pas.

    [David Hilbert (1862-1943) mérite certainement sa majuscule ! AD]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Je profite d'une visite éclair chez moi où j'ai internet, pour signaler des lemmes rigolos (les faire en exos serait peut-être un peu dur):

    Définitions:

    indice de compacité d'un anneau (noté comp(A)):= le plus petit cardinal $c$ tel que l'anneau puisse être muni d'une topologie qui rend ses opérations continues et dont tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement de cardinal strictement plus petit que $c$

    indice d'artianité d'un anneau (noté art(A)):= le plus petit ordinal $a$ tel qu'il n'existe pas de $i\in a\mapsto J_i$ vérifiant $\forall i,j$ dans $a$, si $j>i$ alors $J_j$ est strictement inclus dans $J_i$

    indice noethérianité d'un anneau (noté noe(A)):= le plus petit ordinal $a$ tel qu'il n'existe pas de $i\in a\mapsto J_i$ vérifiant $\forall i,j$ dans $a$, si $i>j$ alors $J_j$ est strictement inclus dans $J_i$

    Lemmes: pour tout cardinal $a$, il existe un cardinal $b$ tel que pour tout anneau (commutatif) $A$:

    1) si $art(A)\leq a$ alors $noe(A)\leq b$

    2) si $noe(A)\leq a$ alors $art(A)\leq b$

    3) si $sup(comp(A),art(A))\leq a$ alors $card(A)\leq b$

    4) si $sup(comp(A),noe(A))\leq a$ alors $card(A)\leq b$

    La question d'affiner comment majorer le "b" en fonction de "a" reste posée s'il y en a que ça amuse???

    Sinon, new question: a-t-on pour tout $a$ il existe $b$ tel que pour tout anneau $A$ si $art(A)\leq a$ alors $card(Ideaux(A))\leq b$?

    En particulier, y a-t-il une borne pour le cardinal de l'ensemble des idéaux d'un anneau commutatif unitaire artinien?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Et merci à AD pour les corrections!!!!
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  • christophe c
    christophe c
    Remarque: si quelqu'un veut bien prendre un peu de temps pour essayer de casser les lemmes précédents (certains sont prouvés avec des grands cardinaux et ce serait rigolos d'en casser un :D )
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