Algèbre différentielle [2]

Bonjour à tous,

Comme promis dans ce fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,859113,page=1, je vous propose ici ma correction du sujet d'ENS Lyon Cachan 1995, qui a pour but de démontrer que $e^{t^{2}}$ n'admet pas de primitive élémentaire.

Pour le moment je ne l'ai absolument pas relue, j'ai préféré rendre le document disponible au plus vite, quitte à y apporter des modifications par la suite, sinon je risque de ne jamais le faire ce qui serait dommage.

Je ne garantis pas la justesse des questions, je l'ai fait avant tout pour moi, et je vous remercie d'avance de me signaler les fautes D'ailleurs je ne suis ni élève, ni chercheur, ni prof

Il y a encore des questions où j'ai quelques doutes (ce qui ne veut pas dire que le reste est juste, c'est juste que je vais en priorité relire ces questions ci), par exemple la IV.1 ou la IV.3.

Je dois avouer qu'une fois arrivé à la fin, il faut encore prendre pas mal de recul pour saisir vraiment ce que le résultat final implique. Ce n'est pas si évident que ça en a l'air.

Par exemple, il faut un peu réfléchir sur la notion d'extension algébrique, qui permet de capturer les racines n-ième, mais aussi d'autres fonctions algébriques qui ne s'expriment pas par radicaux (théorie de Galois ?). Cela voudrait qu'il y aurait des fonctions dites élémentaires qui en fait ne s'expriment pas à l'aide des fonctions usuelles, à creuser donc. Puis ce serait aussi intéressant de réfléchir aux extensions de cette théorie pour les EDO linéaires ou non afin d'obtenir des conditions pour que la solution soit une fonction élémentaire.

Dans tous les cas ce sujet aura été pour moi l'occasion de répondre à une question que je me pose depuis la terminale suite à une remarque de mon prof

Ne reste plus que sur ma liste les raffinements de Cauchy-Lipschitz (Lindelöf-Picard ?), la non résolubilité par radicaux de certaines équations polynomiales (théorie de Galois), le théorème des nombres premiers, l'analyse complexe, les théorèmes taubériens et abéliens, ... 8-) Mais on a le temps

J'aimerais tout d'abord avoir vos avis sur la correction, ainsi que sur les erreurs éventuelles. Puis si ça intéresse quelques personnes on pourrait profiter de ce fil afin de parler un peu d'algèbre différentielle, pour mieux comprendre le lien entre cet énoncé d'algèbre et sa conséquence en analyse, ou pour aller plus loin, ...