groupe produit

Bonjour,

Tout d'abord remarquons que cette loi de composition interne est commutative (comme cela on ne s'intéresse qu'au $x*e=e$ de Siméon). Cherchons un élément neutre. J'abandonne les crochets des classes d'équivalence pour que cela soit moins pénible à écrire.

Supposons que $(a,b)*(a',b')=(a,b)$. Alors $a=a'=1$ est impossible puisqu'on aurait $(a,b)=(0,b+b'-1)$ et donc $a=0$.
On a donc $(a,b)=(a+a',b+b')$, ce qui entraîne que $a'$ et $b'$ sont nuls.
Et on voit effectivement que $(a,b)*(0,0)=(a+0,b+0)=(a,b)$, donc l'élément neutre est $(0,0)$.

Concernant l'isomorphisme : Essaie de prouver que si un tel isomorphisme existe, on doit avoir $f(a,b)=af(1,0)+bf(0,1)$
Tu n'as alors plus qu'à déterminer les valeurs de $f(1,0)$ et de $f(0,1)$. Le calcul de $f(1,0)+f(1,0)$ te permettra d'avancer.

Comme $2f(1,0)=-f(0,1)$, on en déduit que pour tout $(a,b)\in G$, on a : $f(a,b)=f(1,0)(a-2b)$. Il vient $f(G)=f(1,0)\Z$.
Il n'y a alors que deux choix possibles pour $f(1,0)$.