A[X] principal => A corps (demo correcte?)
Bonjour
Dans le livre de Gourdon (Algebre) on trouve une demo de :
si A est un anneau commutatif integre et unitaire, et si A[X] est principal
alors A est un corps.
Elle utilise le fait que, pour a non nul, l'hypothese peut s'ecrire (a) + (X) = (P).. puis des considerations sur P.
Je me demandais pourquoi ne pas prendre (a)+(1) = (P) ?
J'ai l'impression qu'on peut dire ca :
(1) = A[X], et 1 appartient a (P), puique 0 + 1 = 1, et que (a) etant un groupe pour +, 0 appartient a A.
donc (P) contient A[X], c'est a dire (P) = A[X], c'est a dire (P) = (1).
Donc (a) est inclus dans (P), c'est a dire dans (1), et donc il exite b dans A tel que a.b = 1
est que je me trompe quelque part ? (a priori oui, sinon la solution de Gourdon ne serait pas plus compliquee...)
merci de vos lumieres
Dans le livre de Gourdon (Algebre) on trouve une demo de :
si A est un anneau commutatif integre et unitaire, et si A[X] est principal
alors A est un corps.
Elle utilise le fait que, pour a non nul, l'hypothese peut s'ecrire (a) + (X) = (P).. puis des considerations sur P.
Je me demandais pourquoi ne pas prendre (a)+(1) = (P) ?
J'ai l'impression qu'on peut dire ca :
(1) = A[X], et 1 appartient a (P), puique 0 + 1 = 1, et que (a) etant un groupe pour +, 0 appartient a A.
donc (P) contient A[X], c'est a dire (P) = A[X], c'est a dire (P) = (1).
Donc (a) est inclus dans (P), c'est a dire dans (1), et donc il exite b dans A tel que a.b = 1
est que je me trompe quelque part ? (a priori oui, sinon la solution de Gourdon ne serait pas plus compliquee...)
merci de vos lumieres
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Réponses
Si $(a)$ est inclus dans $(1)$, cela implique qu'il existe $b\in (1)$ tel que $a=b$, autrement dit tu as montré que $a\in A[X]$, sauf si j'ai loupé quelquechose.
oui, c'est ca mon erreur!
merci
Tu peux aussi dire l'idéal (X) est premier et comme A[X] est principal, alors A[X]/(X) (qui est clairement isomorphe à A) est un corps.
L'expression "A principal" abrège "tous les idéaux de A sont principaux ET A est intègre". Il a été prouvé dans le passé sur le forum que "tous les idéaux de A[X] sont principaux ssi A est un produit fini de corps***" (page 54, ou en moins bien rédigé: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,661484,663723#msg-663723 )
Je délaye, mais ce n'est pas "compliqué" dans le sens qu'il n'y a pas de recours à une subite "inspiration":
l'hypothèse que A[X] est intègre semble donc indispensable. Mais pour autant, je ne suis pas sûr que toutes les preuves de ton désir soit compliquées. Si $(P)=(X) + (a)$ alors $a$ est un multiple (dans A[X]) de $P$. Cela oblige $P$ à être de degré au plus $0$ (c'est à ce niveau, si on détaille, que l'intégrité est utilisée, dire pourquoi). Le polynome $P$ est donc une constante $k$, disons. Et comme $X$ aussi est un multiple de $k$, il existe un polynome $Q$ tel que $kQ=X$. Il me semble alors qu'une deuxième fois, tu vas utiliser l'intégrité (dire pourquoi) pour dire que $deg(Q)\leq 1$, que du coup tu vas pouvoir (Q) noter $uX+v$ et déduire $k(uX+v) = X$, ie $kuX+kv=X$, donc $ku=1$ et $kv=0$
Finalement, comme il existe deux polynomes $R,S$ tels que $aR+XS = P=k$, en notant $r$ le coefficient constant de $R$, tu obtiens $ar=k$. Ce qui te donne $aru=1$
Question: à quel moment penses-tu que j'ai supposé $a\neq 0$? ( et sauf erreur)
[size=x-small]*** @Greg, page54: je suis l'opposé quasi spectaculaire de quelqu'un qui court après les remerciements (euphémisme, vu mon inexistence de citations dans divers articles). Mais j'ai un petit destin tragique en ce moment, ça m'aurait pas fait de mal de me voir remercié pour "ce détail" plus pour l'huile de coude que ça m'avait couté que pour la gloire [/size]