Produit de matrices symétriques

visitor
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dans Algèbre
Voici un exo posé á ULM.
Soient $A, B \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb R)$. Montrer que $\mathrm{Ker} (AB) \oplus \mathrm{Im} (AB) =\mathbb{R}^n$.
Il y a bien la solution suivante : On montre que $AB$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb R)$ (en commençant par le cas $A\in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb R)$), on en déduit que $\mathrm{Ker} (AB) = \mathrm{Ker} \bigl( (AB)^2 \bigr)$ puis le lemme classique pour $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb R)$ : $(\mathrm{Ker} (M) = \mathrm{Ker} (M^2) \ )\iff (\ \mathrm{Ker} (M) \oplus \mathrm{Im} (M) =\mathbb{R}^n \ )$.

Ce n'est pas très compliqué mais un peu long. Si quelqu'un a une solution plus directe, je suis preneur.

Réponses

  • dSP
    dSP
    Modifié (1 Mar)
    Il y a effectivement plus direct (au passage, il est immédiat que toute matrice diagonalisable $M$
    vérifie $\ker M\oplus \mathop{im} M=\R^n$, et ce sans passer par l'équivalence que tu cites).

    On peut en fait montrer directement que $\ker (AB)^2=\ker (AB)$, ce qui donne le résultat comme tu le fais justement remarquer. Évidemment, seule l'inclusion de la gauche vers la droite n'est pas triviale.
    Soit $X \in \R^n$ tel que $ABABX=0$. Alors $ABX$ est isotrope pour $B$, et comme $B$ est positive on en déduit que $BABX=0$. Par suite, $BX$ est isotrope pour $A$, et comme $A$ est positive on en déduit $ABX=0$,
    CQFD.
  • visitor
    visitor
    C'est en effet bien plus direct.
    Merci.
  • Raymond Cordier
    Raymond Cordier
    Le produit de deux matrices symétriques réelles positives est diagonalisable (avec valeurs propres >=0).
    Bonne soirée.
    RC
    05/10/2013
  • MrJ
    MrJ
    Pour démontrer que le produit de deux matrices symétriques positives est diagonalisable, il faut commencer par supposer qu'une des deux est définie positivie, codiagonaliser avec le théorème spectral, puis utiliser la compacité du groupe orthogonal pour conclure dans le cas générak ? Ou il y a une démonstration directe ?
  • dSP
    dSP
    MrJ, je ne vois pas bien où le groupe orthogonal interviendrait dans ta démonstration...
  • MrJ
    MrJ
    Oui, je me suis trompé. La première partie est juste, mais je ne vois pas comment on passe au cas où les deux matrices sont juste symétriques et positives.

    EDIT : En fait j'ai raconté n'importe quoi. Comment démontre-t-on alors que $AB$ est diagonalisable ? Merci.
  • CechLM
    CechLM
    J'essaye de comprendre : "et comme $B$ est positive, on en déduit que $BABX=0$."

    Si X est un vecteur isotrope de B symétrique positive alors BX = 0. Pourquoi ? (tX)BX = 0 donc (tB)(tX)(BX)=0 donc N_{2}(BX)=0 donc BX = 0.
    Euh... J'ai du raté quelque chose.
  • CechLM
    CechLM
    Bonne année au passage, si quelqu'un est encore en état de me répondre lol.
  • jandri
    jandri
    Attention, ${}^{t\!}B{\,}^{t}\!X={}^{t\!}(XB)$ et pas ${}^{t}\!(BX)$.

    Si $B$ est symétrique positive on peut la diagonaliser dans une BON et en déduire que $B=S^2$ avec $S$ symétrique positive.
    ${}^{t}\!XBX=0$ entraîne ${}^{t\!}XS^2X=||SX||^2=0$ d'où $SX=0$ et $BX=S^2X=0$.

    Une remarque: "J'ai du rater".
  • CechLM
    CechLM
    Et ben ça alors, le cône d'une forme quadratique associé à une forme bilinéaire symétrique positive est son noyau alors.
    Ca veut dire pour $S_{n}^{+}(\mathbb R)$ non dégénéré est équivalent à défini.
  • michal
    michal
    Modifié (1 Mar)
    Bonjour, 

    Y a-t-il moyen de se servir du fait que $\mathrm{ker}(AB)\oplus \mathrm{Im}(AB)=\R^n$ pour montrer que $AB$ est diagonalisable ?
     
  • gebrane
    gebrane
    Personne n'a répondu à la question de @MrJ 
     Comment démontre-t-on alors que $AB$ est diagonalisable ? Merci.
    Je rappelle que \( A \) et \( B \) sont deux matrices réelles symétriques positives.
    Le 😄 Farceur


  • Chaurien
    Chaurien
    Voici un sujet de colle qui répond à la question, avec quelques autres résultats, tout ça très classique, que Raymond Cordier a négligé de communiquer en 2013.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Oups, en fait à la relecture, ça ne répond pas tout à fait. Je regarde de plus près.
  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (1 Mar)
    J'ai retrouvé dans mes archives un autre sujet de colle, qui traite la question du point de vue des endomorphismes. Je ne m'occupe plus trop de ces choses en ce moment, et j'envoie ça sans relire en détail. Ce qui est certain c'est que je n'ai pas inventé tout ça, mais malheureusement j'ai égaré les références.
  • gebrane
    gebrane
    Parfait
    Pourquoi gardes-tu tous ces trésors pour toi ? Envoie toutes tes archives dans un fil dédié
    Le 😄 Farceur


  • MrJ
    MrJ
    Modifié (1 Mar)
    @gebrane : Depuis que j'ai posé la question (il y a 11ans), j'ai trouvé la solution de cet exercice classique  :D
  • gebrane
    gebrane
    Mrj bonjour, je ne doute pas dans le présent que tu as trouvé une solution dans le passé. mais toujours une question sans réponse mérite une réponse
    Le 😄 Farceur


  • Chaurien
    Chaurien
    @Gebrane, merci pour ces éloges, mais tout ceci est très classique. Je l'ai trouvé quelque part et je l'ai tapé pour le conserver : j'avais le temps car j'étais déjà retraité.  Je regrette de ne pas avoir conservé les références, ce que je fais souvent, mais pas ici, malheureusement.
    On pourrait penser à une solution faisant intervenir l'Analyse, plus précisément la densité, comme dans d'autres questions, car une matrice symétrique positive est limite d'une suite de matrices symétriques définies positives. Mais une limite de matrices diagonalisables n'est pas nécessairement diagonalisable,
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