Produit de matrices symétriques
Voici un exo posé á ULM.
Soient $A, B \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb R)$. Montrer que $\mathrm{Ker} (AB) \oplus \mathrm{Im} (AB) =\mathbb{R}^n$.
Il y a bien la solution suivante : On montre que $AB$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb R)$ (en commençant par le cas $A\in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb R)$), on en déduit que $\mathrm{Ker} (AB) = \mathrm{Ker} \bigl( (AB)^2 \bigr)$ puis le lemme classique pour $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb R)$ : $(\mathrm{Ker} (M) = \mathrm{Ker} (M^2) \ )\iff (\ \mathrm{Ker} (M) \oplus \mathrm{Im} (M) =\mathbb{R}^n \ )$.
Ce n'est pas très compliqué mais un peu long. Si quelqu'un a une solution plus directe, je suis preneur.
Soient $A, B \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb R)$. Montrer que $\mathrm{Ker} (AB) \oplus \mathrm{Im} (AB) =\mathbb{R}^n$.
Il y a bien la solution suivante : On montre que $AB$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb R)$ (en commençant par le cas $A\in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb R)$), on en déduit que $\mathrm{Ker} (AB) = \mathrm{Ker} \bigl( (AB)^2 \bigr)$ puis le lemme classique pour $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb R)$ : $(\mathrm{Ker} (M) = \mathrm{Ker} (M^2) \ )\iff (\ \mathrm{Ker} (M) \oplus \mathrm{Im} (M) =\mathbb{R}^n \ )$.
Ce n'est pas très compliqué mais un peu long. Si quelqu'un a une solution plus directe, je suis preneur.
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Réponses
vérifie $\ker M\oplus \mathop{im} M=\R^n$, et ce sans passer par l'équivalence que tu cites).
On peut en fait montrer directement que $\ker (AB)^2=\ker (AB)$, ce qui donne le résultat comme tu le fais justement remarquer. Évidemment, seule l'inclusion de la gauche vers la droite n'est pas triviale.
Soit $X \in \R^n$ tel que $ABABX=0$. Alors $ABX$ est isotrope pour $B$, et comme $B$ est positive on en déduit que $BABX=0$. Par suite, $BX$ est isotrope pour $A$, et comme $A$ est positive on en déduit $ABX=0$,
CQFD.
Merci.
Bonne soirée.
RC
05/10/2013
EDIT : En fait j'ai raconté n'importe quoi. Comment démontre-t-on alors que $AB$ est diagonalisable ? Merci.
Si X est un vecteur isotrope de B symétrique positive alors BX = 0. Pourquoi ? (tX)BX = 0 donc (tB)(tX)(BX)=0 donc N_{2}(BX)=0 donc BX = 0.
Euh... J'ai du raté quelque chose.
Si $B$ est symétrique positive on peut la diagonaliser dans une BON et en déduire que $B=S^2$ avec $S$ symétrique positive.
${}^{t}\!XBX=0$ entraîne ${}^{t\!}XS^2X=||SX||^2=0$ d'où $SX=0$ et $BX=S^2X=0$.
Une remarque: "J'ai du rater".
Ca veut dire pour $S_{n}^{+}(\mathbb R)$ non dégénéré est équivalent à défini.
Y a-t-il moyen de se servir du fait que $\mathrm{ker}(AB)\oplus \mathrm{Im}(AB)=\R^n$ pour montrer que $AB$ est diagonalisable ?
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