morphisme

Si j'ai bien compris, on demande les applications $f$ de $\C$ dans $\C$, telles que :
(i) $\forall z\in \C,\forall z^{\prime }\in \C,f(z+z^{\prime })=f(z)+f(z^{\prime })$ et $f(zz^{\prime })=f(z)f(z^{\prime })$ ;
(ii) $\forall z\in \R, f(z) \in \R$.
........................................................................................................
Par double restriction, on a une application $f$ de $\R$ dans $\R$, telle que :
$\forall x\in \R,\forall y \in \R,f(x+y)=f(x)+f(y)$ et $f(xy)=f(x)f(y)$.
Il est bien connu (non ?) qu'une telle application $f$ de $\R$ dans $\R$ est : ou bien $\forall x\in \R, f(x)=x$, ou bien $\forall x\in \R, f(x)=0$.

Par ailleurs, on a de plus : $f(i)^{2}=f(i^{2})=f(-1)$.

$\bullet $ Premier cas. Si $\forall x\in \R, f(x)=x$, alors $f(i)^{2}=-1$, d'où $f(i)=i$ ou bien $f(i)=-i$.
On en déduit : $\forall z\in \C, f(z)=z$, ou bien : $\forall z\in \C, f(z)=\overline{z}$ .

$\bullet $ Second cas. Si $\forall x\in \R, f(x)=0$, alors $f(i)^{2}=0$, d'où $f(i)=0$. On en déduit : $\forall z\in \C, f(z)=0$.

On trouve les trois applications : $f(z)=0$, $f(z)=z$, $f(z)=\overline{z}$.
Ce sont : l'application nulle, et les deux automorphismes du corps $\C$ qui stabilisent $\R$.
.......................................................................................................
L'exigence de stabiliser $\R$ est très forte, elle restreint drastiquement les solutions. Si on l'abandonne, on peut avoir des automorphismes du corps $\C$ très discontinus, ce qui ne se trouve pas dans le corps $\R$.

Bonne soirée.
RC
01/11/2013

.

@Raymond Cordier : on demande en général à un morphisme de corps de vérifier $f(1)=1$, donc le cas $f$ identiquement nulle n'apparaît pas vraiment.