Anneau commutatif

Bonjour Ali01
Par hypothèse pour tout $x,y\in R$, tu as $x^2y^2=(xy)^2=xyxy$
d'où $x(xy-yx)y=0$.
Si ton anneau est intègre, tu as $xy=yx$ et la commutativité.

Si ton anneau n'est pas intègre, c'est faux :
Prends $R=\mathcal M_2(\R)$, $x=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ et $y=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$.
Tu as $x^2=x,\ y^2=0$ donc $x^2y^2=0$
Mais tu as $xy=0$ donc tu as bien $x^2y^2=(xy)^2 = 0$, et pourtant $yx=y \neq 0=xy$.
Alain

Bonjour Archimède
En effet, la négation de $\forall x,y \in R,\ blabla$ n'est pas $\exists x,y \in R,\ \neg blabla$ mais $\exists x\in R,\ \forall y\in R,\ \neg blabla$.
Pour avoir un contre-exemple, je peux choisir $x$ mais pas $x$ et $y$ !
Comme quoi, on ne fait jamais assez attention :-(
Alain

de siméon: mais l'hypothèse de l'exercice est ici beaucoup plus forte : on demande que la relation $(xy)^2=x^2y^2$ soit vérifiée [size=large]pour tous[/size] les couples $(x,y) \in R^2$.

C'est bien là tout le problème. Il revenait à ali01 de quantifier sa demande!!!. Et il ne l'a pas fait

Par contre, je crois qu'on vote tous pour que AD ait le droit de modifier son message*** contenant une erreur de frappe* (dans l'intérêt des visiteurs futurs**) -D

* ou une interversion entre les deux trucs qu'il voulait signaler

** ce sont des trucs élémentaires, et les visiteurs qui s'intéressent à ça peuvent être déroutés (ils ne lisent pas nos autres "débats" sur "l'intérêt de ne pas modifier un message)

*** ou que quelqu'un le fasse à sa place s'il n'est pas dispo