Inverse d'une matrice de Vandermonde
Bonjour à tous,
Pourriez vous m'expliquer comment on calcule l'inverse d'une matrice de Vandermonde d'ordre $ n $ en utilisant l'interpolation de Lagrange ?
Merci d'avance.
Edit : Quel est l'inverse de : $ A = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{pmatrix} $ ?
Pourriez vous m'expliquer comment on calcule l'inverse d'une matrice de Vandermonde d'ordre $ n $ en utilisant l'interpolation de Lagrange ?
Merci d'avance.
Edit : Quel est l'inverse de : $ A = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{pmatrix} $ ?
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Réponses
Si tu ne sais pas inverser une bête matrice 3X3, je sens que la conjecture de Hodge va te résister quelque peu.
Tu peux peut-être commencer par te renseigner sur ce qu'est une comatrice.
Cordialement,
Rescassol
Sinon, inverser Vandermonde peut se faire avec les polynômes d'interpolation de Lagrange.
Bone soirée.
RC
Je cherche à inverser une matrice de Vandermonde d'ordre quelconque, mais d'abord, j'aimerai commencer par la plus simple, celle d'ordre $ 3 $, pour pouvoir comprendre le principe.
Oui, Guego, mais les dénominateurs se factorisent quelque peu:
$ A^{-1} = \begin{pmatrix} -\dfrac{yz}{(z-x)(x-y)} & -\dfrac{zx}{(x-y)(y-z)} & -\dfrac{xy}{(y-z)(z-x)} \\ \dfrac{y+z}{(z-x)(x-y)} & \dfrac{z+x}{(x-y)(y-z)} & \dfrac{x+y}{(y-z)(z-x)} \\ -\dfrac{1}{(z-x)(x-y)} & -\dfrac{1}{(x-y)(y-z)} & -\dfrac{1}{(y-z)(z-x)} \end{pmatrix} $
Cordialement,
Rescassol
On considère l'application $\Phi : \begin{align} & \mathbb{R}_{n-1}[X] \longrightarrow \mathbb{R} ^n \\ &P \longmapsto(P(a1), P(a2),...P(an)) \\ \end{align}$
La matrice de $\Phi$ dans la base $(1,X,...,X^{n-1})$ est la matrice $ A $ qui s'écrit $(\Phi(1), \Phi(X),...,\Phi(X^n))$. C'est la matrice de Vandermonde:
$ A=\begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_1 ^2 &... & a_1^{n-1} \\ 1 & a_2 & a_2 ^2 &... & a_2^{n-1}\\ ...&...&...&...& ... \\
1 & a_n & a_n ^2 &... & a_n^{n-1} \end{pmatrix}$
On notera que les polynômes de Lagrange $(L_1,L_2,...,L_n)$ forment une base de $\mathbb{R}_{n-1}[X].$
Il est difficile à priori d'inverser la matrice de Vandermonde, mais en exprimant $A$ dans la base des polynômes de Lagrange, c'est la matrice identité $I_n$.
Pour rappel, $L_i(a_j)=\delta_{i,j}$. Donc
$\Phi(L_1)=(1,0,...,0)$;
$\Phi(L_2)=(0,1,0,...,0)$;
...;
$\Phi(L_n)=(0,...0,1)$.
La matrice $A$ est donc facile à inverser: $A^{-1}$ dans la base $(L_1,L_2,...,L_n)$ est aussi l'identité $I_n$.
L'inverse de A dans la base $(1,X,...,X^{n-1})$ sera donc $(L_1(X),L_2(X),...,L_n(X))$.
Pour $n=3$ on retrouve la solution qui a été donnée plus haut.
Merci beaucoup. Comme c'est très joli la manière avec laquelle tu expliques les choses. :-)
Pablo_0 est le pseudonyme de mon ancien compte sur les-mathematiques.net. C'est moi l'auteur de ce fil. ça date de plus de 4 ans. ça me fait peur parce que le temps passe très très vite. Oh mon dieu, c'est comme si cela datait d'hier. Mais non, ça date de plus de 4 ans déjà. :-)
Cordialement.
Que donne l'inverse de la matrice de Vandermonde $(3, 3)$, quand $x, y, z$ sont les racines distinctes de
$X^3 + aX^2 + bX + c$ ?
A+
Je n'ai pas l'impression qu'interpréter $x,y,z$ comme les racines d'un polynôme aide beaucoup.
Est-ce que tu suggères qu'on peut tout exprimer en fonction de $a,b,c$ ?
Rien qu'en degré 3 ça a l'air abominable.
Et pour les degrés supérieurs, à moins que Pablo accepte de livrer sa méthode générale d'extraction de racines...
1/ Toute ma vie quand je voyais "Vandermonde", je passais mon chemin. Je me disais "ok, des calculs".
2/ Lors de je ne sais plus quelle occasion, je me suis aperçu de mon impasse.
2.1/ Il est évident que pour toute fonction finie $f$ de cardinal $n+1$, il existe UN UNIQUE polynôme de degré $n$ qui prolonge $f$.
2.2/ Or le désir s'exprime avec un système affine à résoudre.
2.3/ Je me disais "voilà bien un drôle de truc: un exemple de format de systèmes où on sait à l'avance qu'il a une unique solution"
3/ Et bien c'est ça me Vandermondisme. Ca m'a un peu sidéré (toute proportion gardée) et j'étais content. Je donne ci-dessous, pour les béotiens (rares sur ce forum) les formules à des multiplications près par des scalaires adaptés.
3.1/ Soit les suites injectives $u,v$ de longueur $9$. On cherche un polynôme $P$ tel que $\forall i: P(u_i)=v_i$
3.2/ Je note $Q_i$ le polynôme de degré $8$ obtenu en faisant le produit de tous les $(X-u_k)$ pour $k\neq i$.
3.3/ On a $\forall i,j:[$ si $i\neq j$ alors $Q_i(u_j)=0$ ET $Q_i(u_i)\neq 0]$
3.4/ Il suffit donc de choisir $d_i$ de façon $d_i\times Q_i(u_i)=v_i$ pour obtenir comme polynôme
$$
P:=\sum_i \ d_iQ_i,
$$ un polynôme de degré $8$ qui comble le désir (3.1).
4/ Mais même temps, C'EST DE L'ALGEBRE LINEAIRE. En effet:
4.1/ La recherche de $P$, c'est la recherche de $d_i$'s tels que pour tout $i: $
$$
\Big(\sum_k \ [d_ku_i^k]\ \Big) = v_i .
$$ 4.2/ Et en L1, on aborde tout un tas de notions à la fois pratiques et théoriques qui permettent de parler de ce système et de le résoudre.
4.3/ Et on note que la matrice dont chaque ligne numéro $i$ est $(1,u_i,u_i^2,\dots , u_i^8)$ est justement "la" matrice de Vandermonde. Et l'avantage c'est que si tous les $u_i$ sont distincts 2 à 2 alors elle est inversible (c'est le "il existe un unique" du thème polynomial).
5/ La morale de cette histoire est que parfois, derrière des calculs bruts, il y a des "sujets obsessionnels" de la science qui sont ré-abordés de plein de façon différentes.
$$ P\mapsto (P(u_1,\dots ,P(u_9))$$
avec le contexte qu'on devine, la lettre $P$ désignant un polynôme de degré "au plus tant" (ici $8$). En entrée, $P$ est donné par le uplet de ses coefficients.