Si on a un ensemble muni d'une loi de composition interne avec un élément neutre à gauche où à droite mais pas les deux. Est-ce qu'on peut parler de l'élément symétrique (à gauche, à droite où les deux) ?
Avec des exemples.
Merci !
Oui, on peut toujours en parler, les mathématiques sont un domaine où l'on est libre d'exprimer ses opinions.
Il suffit de définir précisément ce que tu appelles élément symétrique dans ton contexte.
Une autre question est l'intérêt que peut présenter l'introduction de cette définition.
On dit que x est l'éléments symétrique de x' si on a: xTx' = x'Tx = e. Avec e l'élément neutre (à gache et à droite) et x,x' sont de G et T est la loi de composition interne dans G.
Si e est élément neutre "juste" à gauche, il peut exister un element symétrique de x?
S'il s'agit ponctuellement de mettre au point un exercice faisant manipuler les lois de composition interne à un niveau élémentaire, tu peux définir un symétrique de \(x\) comme un élément \(x'\) tel que \(x \intercal x' = e\) où \(e\) est élément neutre à gauche seulement. Il faut par contre mettre clairement en évidence que tu n'utilises pas la définition usuelle et que le terme de {\og}symétrique{\fg} est, dans le cadre de l'exercice, à comprendre suivant ta définition.
Si tu veux développer une théorie sur de tels éléments pour des lois de composition qui n'admettent qu'un élément neutre à gauche, tu as alors intérêt à choisir une nouvelle dénomination, par exemple {\og}pseudo-symétrique{\fg}, ou {\og}quasi-symétrique{\fg}, ou \dots
Par exemple : \(G = \mathbf{N}\) et \(n \intercal p = n^p\). Alors \(e=1\) est élément neutre à droite : \(n \intercal e = n^1 = n\), et tout entier naturel admet 0 pour quasi-symétrique à droite : \(n \intercal 0 = n^0 = 1\).
Dans un cas comme dans l'autre, tu ne peux pas utiliser directement l'expression {\og}élément symétrique{\fg} si \(e\) n'est pas élément neutre bilatère.
Je vous remercie pour votre réponse, mais il me reste une petite question. J'ai pris deux exemples avec élément neutre à droite et on trouve dans les deux cas l'élément quasi-symétrique à droite aussi. Est ce qu'il est possible d'avoir élément symétrique (à droite et à gauche) avec élément neutre e qui n'est pas bilatère?
Que penses-tu du magma des opérateurs sur $\mathbb C^{\infty}{\mathbb R}$, avec pour $a$ la dérivation et $b$ la primitivation en une primitive s'annulant en $0$ ?
Réponses
Bonjour,
Oui, on peut toujours en parler, les mathématiques sont un domaine où l'on est libre d'exprimer ses opinions.
Il suffit de définir précisément ce que tu appelles élément symétrique dans ton contexte.
Une autre question est l'intérêt que peut présenter l'introduction de cette définition.
Si e est élément neutre "juste" à gauche, il peut exister un element symétrique de x?
S'il s'agit ponctuellement de mettre au point un exercice faisant manipuler les lois de composition interne à un niveau élémentaire, tu peux définir un symétrique de \(x\) comme un élément \(x'\) tel que \(x \intercal x' = e\) où \(e\) est élément neutre à gauche seulement. Il faut par contre mettre clairement en évidence que tu n'utilises pas la définition usuelle et que le terme de {\og}symétrique{\fg} est, dans le cadre de l'exercice, à comprendre suivant ta définition.
Si tu veux développer une théorie sur de tels éléments pour des lois de composition qui n'admettent qu'un élément neutre à gauche, tu as alors intérêt à choisir une nouvelle dénomination, par exemple {\og}pseudo-symétrique{\fg}, ou {\og}quasi-symétrique{\fg}, ou \dots
Par exemple : \(G = \mathbf{N}\) et \(n \intercal p = n^p\). Alors \(e=1\) est élément neutre à droite : \(n \intercal e = n^1 = n\), et tout entier naturel admet 0 pour quasi-symétrique à droite : \(n \intercal 0 = n^0 = 1\).
Dans un cas comme dans l'autre, tu ne peux pas utiliser directement l'expression {\og}élément symétrique{\fg} si \(e\) n'est pas élément neutre bilatère.
Ceci
répond-il a tes questions ?
Cordialement.