Groupe de Galois
Bonjour
on dit que le groupe de Galois d'une certaine équation de degré 5 a 4 éléments.
On dit que ce groupe est les 4 itérés d'une certaine permutation de quatre des cinq racines.
Mais je ne comprends pas cette phrase car dans ma tête, si par définition le groupe de Galois d'une équation est l'ensemble des permutations de ses racines, alors toutes les permutations de 5 éléments devraient convenir puisque n'importe quelle permutation de 5 éléments permute en particulier les racines de cette équation.
Pouvez-vous me dire pourquoi ce n'est pas le cas ? Et un contre-exemple simple ?
Merci
on dit que le groupe de Galois d'une certaine équation de degré 5 a 4 éléments.
On dit que ce groupe est les 4 itérés d'une certaine permutation de quatre des cinq racines.
Mais je ne comprends pas cette phrase car dans ma tête, si par définition le groupe de Galois d'une équation est l'ensemble des permutations de ses racines, alors toutes les permutations de 5 éléments devraient convenir puisque n'importe quelle permutation de 5 éléments permute en particulier les racines de cette équation.
Pouvez-vous me dire pourquoi ce n'est pas le cas ? Et un contre-exemple simple ?
Merci
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Réponses
Regarde $P(X)=X^5-1$. Peux-tu permuter les racines n'importe comment?
je ne comprends pas où est le problème
Si $\sigma$ est un tel automorphisme, alors $\sigma(1)=1$ nécessairement. Non ?
Avec tout mon respect,
Thierry
En posant $\alpha=e^{2i\pi/5}$ les racines sont $1,\alpha,\alpha^2\alpha^3,\alpha^4$. Si je pose $\sigma(\alpha)=\beta$, ou $\beta$ est une des autres racines, suis-je libre pour le choix de $f(\alpha^2)$ ? Et d'ailleurs, $\beta$ est n'importe qui?
[Edit : Cocher la case "LaTeX"]
Par exemple : il existe des polynômes (disons rationnels) de degré 5 dont le groupe de Galois (sur Q) est d'ordre 120, et il existe des polynômes de degré 5 dont le groupe de Galois est d'ordre 1.
Je souhaiterais pour l'instant seulement, rester dans le langage des permutations, pour répondre à ma question de départ.
$X^5-1=(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1)$
Comme tout le monde te l'a fait remarquer, on a nécessairement $\sigma(1)=1$. Comme $\sigma$ est injective, il est exclu qu'une autre racine puisse aller sur 1. Donc déjà tu n'as plus ${\cal S}_5$ tout entier, tu as un point fixe. Maintenant $\sigma(\alpha)$ est nécessairement une racine du deuxième facteur, mettons $\beta=\alpha^k$ avec $1\leq k\leq 4$. Mais alors $\sigma(\alpha^m)=(\sigma(\alpha))^m=\beta^m$ ce qui montre que le choix de $\sigma(\alpha)$ détermine toute la permutation! Tu ne peux pas évacuer le fait qu'on ne cherche pas des permutations au hasard, mais des $\Q$-automorphismes, qui sont obligés de permuter les racines, mais toute permutation ne donne pas naissance à un automorphisme.
Mais vouloir oublier que le groupe de Galois est formé d'automorphismes, cela conduit à l'incompréhension de départ de galien, il me semble.
[Edit : ceci est une réponse au message de morpho.]
mais je me répète :
Que sepasse-t-il si on ne part pas du fait qu'on cherche des automorphismes ?
et qu'on cherche à partir de notre équation étudiée, les permutations des racines ?
c'est cela ma question, car dans une introduction de cours sur Galois, on dit que le groupe de Galois d'une équation, c'est l'ensemble des permutations de ses racines
donc on ne part pas du fait qu'il s'agisse d'automorphismes
Même la condition $\sigma(1)=1$ tes obtenue comme condition nécessaire sur la définition d'un automorphisme
Par contre, quand on démarre en disant, que le groupe de Galois d'une équation, c'est l'ensemble des permutations de ses racines, on ne dit pas la même chose, et c'est le passage de l'un à l'autre que je voudrais comprendre
merci
> c'est cela ma question, car dans une introduction
> de cours sur Galois, on dit que le groupe de
> Galois d'une équation, c'est l'ensemble des
> permutations de ses racines
C'est une simplification qui peut éventuellement convenir à une introduction. Pas plus. Le groupe de Galois doit tenir compte de la structure algébrique pour des tas de raisons. Par exemple, parce que cela n'a pas d'intérêt d'introduire un groupe de Galois isomorphe à $S_5$ pour comprendre l'équation $x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=0$.
Si tu veux une définition en termes de permutations, un élément du groupe de Galois est une permutation des racines qui laisse invariante toute relation polynomiale entre ces racines (sous-entendu à coefficients dans $\Q$). La définition telle que tu la donnes est incorrecte.
Aurel
[Edit : Cocher la case "LaTeX"]
Si on prend en compte la structure de corps, l'exemple de Meu montre qu'elle contraint les permutations envisageables.
Un problème annexe était que lorsque l'on donne des formules en degré 2 à 4, elles sont ambiguës : elles reposent sur le choix d'une racine carrée ou cubique (du discriminant) qui n'a rien de canonique, du moins avec des complexes. Du coup, on écrit des formules comme $(-b\pm\delta)/(2a)$ avec $\delta$ une racine carrée du discriminant mais on ne sait pas a priori laquelle est laquelle.
Galois a comment traduire cette ambiguïté par un objet algébrique qui permet de faire des calculs -- le groupe de Galois. Le groupe de Galois d'une équation ne dépend pas vraiment de l'équation mais seulement de l'extension qui lui est associée, à savoir le couple formé par le corps $K$ où vivent les coefficients de l'équation et le corps $L$ engendré par les racines de l'équation (*). Il est défini comme le groupe des automorphismes du gros corps $L$ qui fixent point par point le petit corps $K$. «Dans les bons cas», il permet d'établir une correspondance entre (certains) corps et sous-groupes du groupe de Galois.
Ma remarque était : si on veut que cela serve à quelque chose, il ne faut pas associer un groupe compliqué comme $S_5$ à une extension simple comme $\Q\subset\Q$.
NB : Plus fort : Galois a réussi à relier les propriétés algébriques du groupe (résolubilité) et la possibilité d'écrire des «formules» pour résoudre l'équation.
(*) Exemples : on va prendre des équations à coefficients dans $\Q$. Pour l'équation $X(X-1)(X-2)(X-3)(X-4)=0$, dont toutes les solutions sont rationnelles, le «gros» corps est $\Q$ ; pour l'équation $X^5-1=0$, le «gros» corps est $\Q(e^{i2\pi/5})$ ; pour l'équation $X^2+1=0$, à coefficients réels cette fois, le «gros» corps est $\C$. Etc.
c'est l'ensemble des permutations de ses racines.
A priori, n'importequelle permutation à 5 éléments pourraient convenir.
Sans faire la relation avec les automorphismes, j'aimerais comprendre comment , sur cet exemple, on peut raffiner et être sûr qu'un certain nombre de permutations (qui ensuite seulement dans une deuxième partie seront traduites en termes d'automorphismes) ne peuvent pas convenir.
Prends la suivante : soit $P\in\mathbb Q[X]$ un polynôme à coefficients rationnels. Notons $K$ le sous-corps de $\mathbb C$ engendré par les racines complexes $x_1,\dots,x_n$ de $P$. Le corps $K$ contient $\mathbb Q$ (tout sous-corps de $\mathbb C$ contient $\mathbb Q$, exercice). On appelle groupe de Galois $P$ (sur $\mathbb Q$), le groupe des automorphismes du corps $K$, c'est-à-dire des bijections $\sigma:K\to K$ qui sont des morphismes de corps.
Si tu restreins un élément $\sigma:K\to K$ à l'ensemble $X=\{x_1,\dots,x_n\}$ des racines de $P$, tu obtiens une application $\sigma_{|X} : X\to K$ qui est en fait à valeurs dans $X$ (exercice), donc une application $\sigma_{|X} : X\to X$. Cette application est injective (comme restriction d'une injection) donc bijective (parce que $X$ est fini), donc $\sigma_{|X}:X\to X$ est une permutation de $X$.
Exemple (trivial) : $P=X(X-1)(X-2)(X-3)(X-4)$. Le sous-corps de $\mathbb C$ engendré par les racines de $P$ est $\mathbb Q$ ! Donc le groupe de Galois de $P$ est l'ensemble des automorphismes du corps $\mathbb Q$. Or il n'y a qu'un automorphisme du corps $\mathbb Q$ : l'identité (exercice). Le groupe de Galois de $P$ est réduit à un élément (pourtant il existe 120 permutations des racines de $P$, comme quoi…).
Exemple : $P=X^2+1$. Le sous-corps de $\mathbb C$ engendré par les racines de $P$ est $\mathbb Q(i)=\{a+bi,(a,b)\in\mathbb Q^2\}$. Donc le groupe de Galois de $P$ est l'ensemble des automorphismes du corps $\mathbb Q(i)$. Or il y a exactement deux automorphismes du corps $\mathbb Q(i)$ : l'identité et la conjugaison complexe (exercice). Le groupe de Galois de $P$ a donc deux éléments. Par ailleurs, il existe exactement deux permutations des racines de $P$ (puisque $P$ a deux racines). On a ici un exemple où toute permutation des racines de $P$ provient (par restriction) d'un élément du groupe de Galois.
tu verras tout cela dans le livre de JeanPierre Escofier
Théorie de Galois : Cours et exercices corrigés :
chez Dunod : se trouve chez les Gilbert et je trouve pas trop cher (25 euros en 97) et c'est pas un "gros" livre
il est très progressif : non seulement il y a beaucoup d'exercices corrigés mais aussi beaucoup d'exemples
en outre il ne se place pas dans un cadre ultra général : tout est "chapeauté" par C au départ
je cite quelques extraits de la table des matières
polynômes symétriques, résultant , discriminant
extension de corps, degré d'une extension, multiplication des degrés (on peut rien faire sans cette règle)
polynôme minimal
extension algébrique, par adjonction de racine
K-homomorphismes
élément primitif,
extensions normales
corps de décomposition
groupe de Galois d'une extension, d'un polynôme, groupe de Galois comme sous-groupe de permutations
correspondance de Galois
racines nième de 1
extensions cycliques
applications au 3ième degré et 4ième degré
groupe résoluble, polynôme résoluble par radicaux
cas de l'équation générale de degré n
ensuite un chapitre sur le cas des corps finis, et un où il considère des corps commutatifs quelconques
C'est vrai car $5$ est premier.
D'une façon générale, le groupe de Galois de $X^n-1$ est isomorphe au groupe des inversibles de $Z/nZ$
Pour $n=8$, ca ne donne pas un groupe cyclique, mais le groupe de Klein.