Groupe de Galois

Bonjour

Regarde $P(X)=X^5-1$. Peux-tu permuter les racines n'importe comment?

Tu veux quand même que les éléments du groupe de Galois soient des automorphismes de corps.

galien : il y a au moins, parmi les racines de ton polynôme, le nombre 1, qui est un peu à part car tout automorphisme de corps doit le laisser fixe. Du coup, toutes permutation des racines qui ne laisse pas 1 fixe n'est pas dans ton groupe de Galois (disant cela, j'identifie bien sûr ton groupe de Galois à un ensemble de permutations des racines).

J'ai supposé qu'on parle d'extension sur $\Q$. Si ce n'est pas le cas, il faudra modifier.

En posant $\alpha=e^{2i\pi/5}$ les racines sont $1,\alpha,\alpha^2\alpha^3,\alpha^4$. Si je pose $\sigma(\alpha)=\beta$, ou $\beta$ est une des autres racines, suis-je libre pour le choix de $f(\alpha^2)$ ? Et d'ailleurs, $\beta$ est n'importe qui?

Oui, bien sur que ça existe! Mais 1 n'est pas forcément racine du polynôme choisi!

Là Magnolia et pb, vous avez retranscrit en termes d'automorphismes, mais ce n'est pas ce que je souhaite

Je souhaiterais pour l'instant seulement, rester dans le langage des permutations, pour répondre à ma question de départ.

Bon, reprenons mon exemple avec mes notations.

$X^5-1=(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1)$

Comme tout le monde te l'a fait remarquer, on a nécessairement $\sigma(1)=1$. Comme $\sigma$ est injective, il est exclu qu'une autre racine puisse aller sur 1. Donc déjà tu n'as plus ${\cal S}_5$ tout entier, tu as un point fixe. Maintenant $\sigma(\alpha)$ est nécessairement une racine du deuxième facteur, mettons $\beta=\alpha^k$ avec $1\leq k\leq 4$. Mais alors $\sigma(\alpha^m)=(\sigma(\alpha))^m=\beta^m$ ce qui montre que le choix de $\sigma(\alpha)$ détermine toute la permutation! Tu ne peux pas évacuer le fait qu'on ne cherche pas des permutations au hasard, mais des $\Q$-automorphismes, qui sont obligés de permuter les racines, mais toute permutation ne donne pas naissance à un automorphisme.

merci à vous,

mais je me répète :

Que sepasse-t-il si on ne part pas du fait qu'on cherche des automorphismes ?

et qu'on cherche à partir de notre équation étudiée, les permutations des racines ?

c'est cela ma question, car dans une introduction de cours sur Galois, on dit que le groupe de Galois d'une équation, c'est l'ensemble des permutations de ses racines

donc on ne part pas du fait qu'il s'agisse d'automorphismes

Même la condition $\sigma(1)=1$ tes obtenue comme condition nécessaire sur la définition d'un automorphisme

Par contre, quand on démarre en disant, que le groupe de Galois d'une équation, c'est l'ensemble des permutations de ses racines, on ne dit pas la même chose, et c'est le passage de l'un à l'autre que je voudrais comprendre

merci

Salut,

Si tu veux une définition en termes de permutations, un élément du groupe de Galois est une permutation des racines qui laisse invariante toute relation polynomiale entre ces racines (sous-entendu à coefficients dans $\Q$). La définition telle que tu la donnes est incorrecte.

Aurel

[Edit : Cocher la case "LaTeX"]

Et on a un objet absurdement compliqué pour décrire l'extension $\Q/\Q$ !

Si on prend en compte la structure de corps, l'exemple de Meu montre qu'elle contraint les permutations envisageables.

Eh bien, mettons que le groupe de Galois serve à étudier des équations. Après la résolution antédiluvienne des équations de degré 2 et celle des équations de degré 3 et 4 vers la Renaissance, plus personne n'est parvenu à comprendre pourquoi on n'arrivait pas à trouver «des formules» générales pour résoudre celles de degré 5 et plus.

Un problème annexe était que lorsque l'on donne des formules en degré 2 à 4, elles sont ambiguës : elles reposent sur le choix d'une racine carrée ou cubique (du discriminant) qui n'a rien de canonique, du moins avec des complexes. Du coup, on écrit des formules comme $(-b\pm\delta)/(2a)$ avec $\delta$ une racine carrée du discriminant mais on ne sait pas a priori laquelle est laquelle.

Galois a comment traduire cette ambiguïté par un objet algébrique qui permet de faire des calculs -- le groupe de Galois. Le groupe de Galois d'une équation ne dépend pas vraiment de l'équation mais seulement de l'extension qui lui est associée, à savoir le couple formé par le corps $K$ où vivent les coefficients de l'équation et le corps $L$ engendré par les racines de l'équation (*). Il est défini comme le groupe des automorphismes du gros corps $L$ qui fixent point par point le petit corps $K$. «Dans les bons cas», il permet d'établir une correspondance entre (certains) corps et sous-groupes du groupe de Galois.

Ma remarque était : si on veut que cela serve à quelque chose, il ne faut pas associer un groupe compliqué comme $S_5$ à une extension simple comme $\Q\subset\Q$.

NB : Plus fort : Galois a réussi à relier les propriétés algébriques du groupe (résolubilité) et la possibilité d'écrire des «formules» pour résoudre l'équation.


(*) Exemples : on va prendre des équations à coefficients dans $\Q$. Pour l'équation $X(X-1)(X-2)(X-3)(X-4)=0$, dont toutes les solutions sont rationnelles, le «gros» corps est $\Q$ ; pour l'équation $X^5-1=0$, le «gros» corps est $\Q(e^{i2\pi/5})$ ; pour l'équation $X^2+1=0$, à coefficients réels cette fois, le «gros» corps est $\C$. Etc.

C'est-à-dire que comme l'ont dit un certain nombre de gens déjà -- je ne suis pas le seul -- la définition primaire n'est pas une définition du tout. C'est une description vague qui va bien pour donner une idée : l'idée que le groupe de Galois associé à une équation est fini puisqu'on peut le réaliser comme un sous-groupe du groupe des permutations des racines. Au-delà, il est impératif de prendre en compte la structure de corps -- la théorie de Galois, c'est le «niveau 2» de la théorie des corps (où le «niveau 1» serait ce qui conduit à résoudre les problèmes de constructibilité à la règle et au compas, c'est-à-dire l'étude des dimensions).

@Jer anaonyme et PB : Merci pour ces éxplications de qualité

Pour répondre à la question, le groupe de Galois qui correspond à $X^5-1=0$ ne serait-il pas $Z/4Z$

Bonjour
C'est vrai car $5$ est premier.
D'une façon générale, le groupe de Galois de $X^n-1$ est isomorphe au groupe des inversibles de $Z/nZ$
Pour $n=8$, ca ne donne pas un groupe cyclique, mais le groupe de Klein.