Groupe d'ordre 2p

au vu de l'énoncé de la question 1, il faudrait commencer à n=3, mais je doute qu'une récurrence fonctionne.

Il ne doit pas être trop difficile de donner une description de tous les éléments de ce groupe.
La difficulté étant probablement de montrer qu'on a oublié aucun élément.

Pour la deuxième question:
- Si p est un nombre premier qui divise l'ordre d'un groupe alors il existe un sous-groupe d'ordre p (théorème de Cauchy)
ou bien utilisation d'un théorème de Sylow, puisque si G est d'ordre 2p avec p>2 premier tout sous-groupe d'ordre p est un p-sous-groupe de Sylow.
- Un sous-groupe d'indice 2 est distingué.

PS:
Le groupe en question contient un sous-groupe composé de rotations de centre O (le centre de symétrie du polygone).
Si on trouve une symétrie qui appartient à ce groupe, la composée de cette symétrie avec une des rotations donne un nouvel élément du groupe qui n'est pas une rotation. De cette façon on peut démontrer je pense que l'ordre du groupe est $\geq 2n$.
La difficulté étant de montrer qu'il est aussi $\leq 2n$

Preuve qu'il n'y en a pas d'autres? B-)

Fin de partie écrivait:

---

> Preuve qu'il n'y en a pas d'autres? B-)


Relire mon post précédent et compléter en disant que $A_1$ doit bien aller quelque part.:-)

Bonjour

Pour les éventuels allergiques à la géométrie (j'espère que c'est l'ensemble vide).

D'après le théorème de Cauchy il y a un élément $r$ d'ordre $p$ et un élément $s$ d'ordre 2. Regarder ce qui se passe si $s$ et $r$ commutent et s'ils ne commutent pas!

Sauf qu'il y a plusieurs définitions de ce qu'est $D_n$ justement.

C'est pas le tout de pinailler sur les indices mais dans ce qui précède j'en suis resté à que l'ordre du nième groupe dihédral est supérieur ou égal à 2n. B-)-

1)¨Pour trouver les isométries du plan qui conservent les sommets d'un polygone régulier à $n$ sommets ( $n \in \mathbb{N}$, $n\geq 2$), il me semble commode de passer par les complexes et de considérer les isométries de $\mathbb{C}$ qui conservent l'ensemble $\mathbb{U}_n$ des racines $n$-èmes de l'unité. Il est bien connu que les isométries de $\mathbb{C}$ sont exactement les applications $z\mapsto az+b$ ou $z\mapsto a\overline{z}+b$, $\left| a\right| =1$, et si ce n'est pas connu, ce n'est pas bien difficile à prouver. Il en résulte immédiatement que les isométries qui conservent $\mathbb{U}_n$ sont exactement les applications $z\mapsto \omega z$ ou $z\mapsto \omega \overline{z}$, $\omega \in \mathbb{U}_n$. On voit tout de suite qu'elles forment un groupe d'ordre $2n$, et quelle est la structure de ce groupe, groupe diédral (sans "h").

2) Soit $G$ est un groupe d'ordre $2p$, avec $p$ premier impair. Ses éléments sont d'ordres $1$, ou $2$, ou $p$ ou bien $2p$.
- S'il y a un élément d'ordre $2p$, alors le groupe $G$ est cyclique, isomorphe à $\mathbb{Z}/2p \mathbb{Z}$.
- Supposons que $G$ n'est pas cyclique. Ce groupe $G$ contient un élément (autre que le neutre) d'ordre $\neq 2$, sans quoi ce serait un groupe booléen, d'ordre $2^m$ : cet élément est d'ordre $p$. De plus, le groupe $G$, étant d'ordre pair, contient un élément d'ordre $2$. Ces deux éléments, d'ordre $2$ et d'ordre $p$, engendrent deux sous-groupes qui sont en produit direct, et ce produit direct est $G$ puisqu'il a $2p$ éléments.

On peut ainsi déterminer ces groupes de manière tout à fait élémentaire, sans Sylow ni Cauchy.

Pour Fin de partie à qui il faut mettre les points sur les i :

Soit P un plan euclidien affine, A,B,C,D quatre points de P tels que la distance de A à B soit non nulle et égale à la distance de C à D. Alors il existe une unique isométrie directe (resp. une unique isométrie indirecte) f de P telle que f(A)=C et f(B)=D.