Groupe d'ordre 2p
Bonjour à tous,
1) On note $D_n$ l'ensemble des isométries du plan qui conservent l'ensemble des sommets d'un polygone régulier de $n$ côtés, $n \geqslant 2$. Montrer que $D_n$ est d'ordre $2n$ et non abélien si $n \geqslant 3$.
2) Soit $G$ un groupe d'ordre $2p$ avec $p$ premier. Montrer que $G$ admet un sous-groupe distingué d'ordre $p$, et que $G$ est isomorphe soit à $\Z/2p\Z$ soit à $D_p$.Voilà ce que j'ai fait pour la question 1) et qui n'aboutit pas dès l'initialisation :
On dénombre à la main combien d'isométries $f$ laissant stable le polygone $P=A_{1}A_{2}...A_{n}$ il est possible de construire. On raisonne par récurrence sur $n \geqslant 2$.
- Si $n=2$ : pour l'image de $A_1$, on a $2$ choix possibles puis pour $A_2$ on a $1$ choix possible, à savoir le point de $P$ qui n'est pas $f(A_1)$. On a donc 2x1=2 choix possibles pour construire $f$ donc $D_2$ est d'ordre 2 et non 4 comme il faudrait trouver. Où est l'erreur ?
1) On note $D_n$ l'ensemble des isométries du plan qui conservent l'ensemble des sommets d'un polygone régulier de $n$ côtés, $n \geqslant 2$. Montrer que $D_n$ est d'ordre $2n$ et non abélien si $n \geqslant 3$.
2) Soit $G$ un groupe d'ordre $2p$ avec $p$ premier. Montrer que $G$ admet un sous-groupe distingué d'ordre $p$, et que $G$ est isomorphe soit à $\Z/2p\Z$ soit à $D_p$.Voilà ce que j'ai fait pour la question 1) et qui n'aboutit pas dès l'initialisation :
On dénombre à la main combien d'isométries $f$ laissant stable le polygone $P=A_{1}A_{2}...A_{n}$ il est possible de construire. On raisonne par récurrence sur $n \geqslant 2$.
- Si $n=2$ : pour l'image de $A_1$, on a $2$ choix possibles puis pour $A_2$ on a $1$ choix possible, à savoir le point de $P$ qui n'est pas $f(A_1)$. On a donc 2x1=2 choix possibles pour construire $f$ donc $D_2$ est d'ordre 2 et non 4 comme il faudrait trouver. Où est l'erreur ?
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Réponses
On peut amener le sommet $A_1$ sur le sommet $A_k$ de deux manières : en glissant le poygone ou en le retournant, pour toute valeur de $k$ entre 1 et $n$.
Découpe un carré pour voir.
Cordialement.
La difficulté étant probablement de montrer qu'on a oublié aucun élément.
Pour la deuxième question:
- Si p est un nombre premier qui divise l'ordre d'un groupe alors il existe un sous-groupe d'ordre p (théorème de Cauchy)
ou bien utilisation d'un théorème de Sylow, puisque si G est d'ordre 2p avec p>2 premier tout sous-groupe d'ordre p est un p-sous-groupe de Sylow.
- Un sous-groupe d'indice 2 est distingué.
PS:
Le groupe en question contient un sous-groupe composé de rotations de centre O (le centre de symétrie du polygone).
Si on trouve une symétrie qui appartient à ce groupe, la composée de cette symétrie avec une des rotations donne un nouvel élément du groupe qui n'est pas une rotation. De cette façon on peut démontrer je pense que l'ordre du groupe est $\geq 2n$.
La difficulté étant de montrer qu'il est aussi $\leq 2n$
> Preuve qu'il n'y en a pas d'autres? B-)
Relire mon post précédent et compléter en disant que $A_1$ doit bien aller quelque part.:-)
J'imagine qu'il va falloir démontrer à un moment donné que le centre de symétrie du polygone est invariant pour tout élément du groupe?
Pour les éventuels allergiques à la géométrie (j'espère que c'est l'ensemble vide).
D'après le théorème de Cauchy il y a un élément $r$ d'ordre $p$ et un élément $s$ d'ordre 2. Regarder ce qui se passe si $s$ et $r$ commutent et s'ils ne commutent pas!
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
2) Soit $G$ est un groupe d'ordre $2p$, avec $p$ premier impair. Ses éléments sont d'ordres $1$, ou $2$, ou $p$ ou bien $2p$.
- S'il y a un élément d'ordre $2p$, alors le groupe $G$ est cyclique, isomorphe à $\mathbb{Z}/2p \mathbb{Z}$.
- Supposons que $G$ n'est pas cyclique. Ce groupe $G$ contient un élément (autre que le neutre) d'ordre $\neq 2$, sans quoi ce serait un groupe booléen, d'ordre $2^m$ : cet élément est d'ordre $p$. De plus, le groupe $G$, étant d'ordre pair, contient un élément d'ordre $2$. Ces deux éléments, d'ordre $2$ et d'ordre $p$, engendrent deux sous-groupes qui sont en produit direct, et ce produit direct est $G$ puisqu'il a $2p$ éléments.
On peut ainsi déterminer ces groupes de manière tout à fait élémentaire, sans Sylow ni Cauchy.
Soit un repère orthonormé du plan.
Si on prend $A$ d'affixe $0$, $B$ d'affixe $1$, $C$ d'affixe $2$ et $D$ d'affixe $4$
On va avoir du mal à trouver , il me semble, une isométrie qui vérifie:
$f(A)=C$ et $f(B)=D$ B-)-
Soit P un plan euclidien affine, A,B,C,D quatre points de P tels que la distance de A à B soit non nulle et égale à la distance de C à D. Alors il existe une unique isométrie directe (resp. une unique isométrie indirecte) f de P telle que f(A)=C et f(B)=D.
Autrement dit : si $f$ est une isométrie directe (resp. indirecte), et si $(A,B)$ est un couple de points distincts, alors $f$ est entièrement déterminée par le couple $(f(A),f(B))$.
Mais la réponse de Bu est plus précise car elle parle aussi de l'existence.