matrice et transposée

zed2 · August 2004

Bonjour aux gens.
Il me semble que pendant l'année, mon prof de maths a affirmé que toute matrice est semblable à sa transposée, mais je n'arrive pas à voir comment jusitifier ce résultat (s'il est vrai, bien sûr).
Une aide serait vraiment la bienvenue.
Merci d'avance.

garfield0 · August 2004

Ca n'est pas du tout évident à montrer c'est un résultat dû à Froebenius je crois, j'ai fait un DM la dessus il y a quelques temps mais je serais incapable de me rapeller de la démarche comme ça. Essaie de chercher avec Froebenius sur le net ça aidera peut être sinon je peux essayer de retrouver mon DM mais l'énoncé était quand même un peu long il me semble ( niveau spé il y a peut-être une méthode rapide à un niveau plus haut mais je n'en sais rien )

.

trivecteur1 · August 2004

Traditionnellement, il existe deux voies pour montrer ce résultat : la réduction de Jordan et les invariants de similitude.

vvv

zed2 · August 2004

ok merci. La Jordanisation a l'air de bien marcher.
a +

Buttman0 · August 2004

La jordanisation marche pourvu que la matrice en question admette une réduite de Jordan. Sans quoi dans le cas général (le résultat est vrai pour n'importe quel corps commutatif) on peut aller voir par exemple dans le Gourdon (Algèbre), sur les invariants de simililtude...

Eric · August 2004

Démonstration prise dans Prasolov, \emph{Problems and Theorems in Linear Algebra} :

Soit $A$ un bloc de Jordan d'ordre $k$. On vérifie dans ce cas que $S_{k}A=\,^{t}\!AS_{k}$, où $S_{k}=\begin{Vmatrix}
\delta_{i,k+1-j} \\
\end{Vmatrix}_{1}^{k}$ est une matrice inversible. Si $A$ est la somme directe de blocs de Jordan, on peut alors prendre la somme directe des matrices $S_{k}$.

Meryam0 · January 2007

Salut !
Nous venons de faire le cours sur la jordanisation mais je n'arrive pas à trouver les matrices de passage.
Comment faire ?

matrice et transposée

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Bonjour!

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