$PGL_2(\mathbb F_3)\simeq\mathfrak S_4$
Bonjour
Je veux montrer que $PGL_2(\mathbb F_3)$ isomorphe à $\mathfrak S_4$.
Je considère l'action: $PGL_2(\mathbb F_3) \times P(\mathbb F_3^2)\to P(\mathbb F_3^2)$
$|P(\mathbb F_3^2)|=4$, je pose $D= \{ D_1,\ldots,D_4 \}$. On a $\mathfrak S_D$ isomorphe à $\mathfrak S_4$
Mais comment montrer que $PGL_2(\mathbb F_3)$ isomorphe à $\mathfrak S_D$ ?
Je veux montrer que $PGL_2(\mathbb F_3)$ isomorphe à $\mathfrak S_4$.
Je considère l'action: $PGL_2(\mathbb F_3) \times P(\mathbb F_3^2)\to P(\mathbb F_3^2)$
$|P(\mathbb F_3^2)|=4$, je pose $D= \{ D_1,\ldots,D_4 \}$. On a $\mathfrak S_D$ isomorphe à $\mathfrak S_4$
Mais comment montrer que $PGL_2(\mathbb F_3)$ isomorphe à $\mathfrak S_D$ ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Pour la stabilité je n'ai aucune idée
mais il y a un truc que je ne comprend pas:
en quoi le fait d'avoir une hométhétie me donne l'injectivité?
Jer dit : que peut-on dire d'une application linéaire qui stabilise toutes les droites ?
Mais pourquoi parle-t-il de cela ? C'est quoi le rapport en fait ?
Dans ton cours tu dois avoir qu'une action transitive $G\times X \to X$ définit un morphisme $\varphi : G\to \mathfrak S_X$.
Ici $G=PGL_2(\mathbb F_3)$ et $X= P(\mathbb F_3^{\,2})$ qui est de cardinal 4, et l'action est bien transitive.
Tu aimerais bien que $\varphi $ soit injective, ainsi $G$ s'injecterait dans $\mathfrak S_X\simeq \mathfrak S_4$.
Comment montre-t-on qu'un morphisme est injectif ?
Quelle particularité a un élément de $\ker \varphi$ ?
Ne peux-tu relier tout cela avec ce qui t'a été dit plus haut ?
Alain
NB : Une action n'a aucun besoin d'être transitive pour que l'on en tire un morphisme vers le groupe symétrique.
Bien sûr, mais ici, on voudrait que $\varphi$ soit un isomorphisme, et la transitivité de l'action donne la surjectivité de $\varphi$. Il ne reste plus que l'injectivité à montrer en passant par $\ker \varphi$. :-)
Alain
Personnellement pour définir $ \phi$ j'aurai pris $ \phi(g)=gv_i$ avec $v_i$ un vecteur directeur de $D_i$
2) Tu ne vois quelle peut être la permutation qui joue le rôle de l'élément neutre pour la composition ?
3) On imagine qu'il y a de l'idée mais comme on ne sait pas qui sont $g$ et $D_i$...
g est dans G
> la transitivité de l'action donne la surjectivité de $\varphi$.
Ah que non ! Le sous-groupe engendré par $(1234)$ dans $\mathfrak{S}_4$ est transitif mais il n'est pas égal à $\mathfrak{S}_4$ entier.
Autre version plus neuneu : on a une application $\alpha:G\times X\to X$ qui, à un couple $(g,x)$, associe un élément $\alpha(g,x)$ de $X$. Et alors, on fixe $g$ et on cherche une application qui à un $x$ associe un élément de $x$ : il faut prendre $\alpha(g,x)$ évidemment ! Autrement dit, $\phi_g$ est l'application partielle définie ainsi.... (Je te laisse terminer.)
Ouh lala ! Tu as raison, je suis complètement dans le cirage !
Bon, pour me faire pardonner, je vais essayer de reprendre pour Tut qui se demande d'où vient ce $\varphi : G\rightarrow \mathfrak S_X$.
[Edit : même si c'est la version un peu neu-neu :-D]
On a une action (à gauche) d'un groupe $G$ sur un ensemble $X$ : $$\begin{array}{ccc}
G\times X&\longrightarrow &X\\
(g,x)&\longmapsto & g\cdot x
\end{array}$$ Par définition elle vérifie :
(1) Pour tout $x\in X,\ 1\cdot x=x$ (où 1 est le neutre de $G$).
(2) Pour tous $g_1,g_2\in G,\ x\in X,\ (g_1g_2)\cdot x=g_1\cdot(g_2\cdot x)$.
Si on fixe $g \in G$, on a une application $\varphi_g : X\rightarrow X$ définie par $\varphi_g(x)=g\cdot x$.
Grâce au fait que $G$ est un groupe, cette application est une bijection, dont l'application réciproque est $\varphi_{g^{-1}}$. Donc $\varphi_g \in \mathfrak S_X$.
On définit ainsi une application $\varphi : G\rightarrow \mathfrak S_X$ par $\varphi(g)=\varphi_g$.
Il faut montrer que c'est un morphisme de groupes :
Pour tous $g_1,g_2\in G,\ \varphi(g_1g_2) = \varphi_{g_1g_2}$ ;
pour tout $x\in X,\ \varphi_{g_1g_2}(x)= (g_1g_2)\cdot x = g_1\cdot(g_2\cdot x) = \varphi_{g_1}\big(\varphi_{g_2}(x)\big)=\varphi_{g_1}\circ\varphi_{g_2}(x)$ (d'après la propriété (2) et les définitions de $\varphi$ et $\varphi_g$).
Donc $\varphi(g_1g_2)=\varphi(g_1)\circ\varphi(g_2)$ et $\varphi$ est un morphisme de groupes.
Si l'action est transitive (une seule orbite), on en tire seulement que $\varphi$ n'est pas le morphisme trivial (en supposant que $X$ contient au moins 2 éléments).
Alain
Pourquoi $ \varphi_g \in \mathfrak S_X$ avec ce qui a été dit ?