signe valeurs propres de la somme de matrices

Phil
Phil
dans Algèbre
Bonjour,
J'ai été amené à me poser la question suivante :
Considérons trois matrices réelles telles que $J_2=J_1+D$ diagonalisables dans $\mathbb{C}$. De plus $D$ est diagonale.
Si on suppose que les vp de $J_1$ et $D$ ont une partie réelle strictement négative, est-ce vrai pour la somme $J_2$ ?
C'est vrai dans deux cas particuliers : si $J_1$ est normal (merci notamment à Gringegre) ou bien si $J_1$ et $D$ commutent.
Dans le cas générique est-ce encore vrai ? Ou bien quelqu'un trouverait-il un contre-exemple ?
En dimension 1, ça marche ;-) !
En dimension 2, je n'ai pas encore trouvé de contre-exemple mais je n'ai pas prouvé que c'est vrai non plus...
Merci par avance pour votre aide ! :-)

Réponses

  • h
    h
    J'ai l'impression que tu trouveras facilement des contre-exemple en prenant la somme d'une matrice triangulaire supérieure et d'une matrice triangulaire inférieure.
  • Phil
    Phil
    Merci Beaucoup !!
    Je voulais ajouter que j'avais trouvé un tel contre-exemple, mais tu as été plus rapide !!
    Effectivement, dans le cas général on ne peut pas conclure. (ça m'aurait arranger :-( )
    Merci en tout cas :-)
  • Phil
    Phil
    > J'ai l'impression que tu trouveras facilement des..
    Sans indiscrétion, d'où t'est venue cette "impression" : cela vient d'une propriété élégante, ou bien par le calcul direct (comme j'ai fait) ?
  • h
    h
    Si tu pars d'une matrice $S$ dont les termes diagonaux sont strictement positifs (je préfère raisonner avec "positif" plutôt que "négatif"), alors tu peux la décomposer en une somme d'une matrice triangulaire supérieure et d'une matrice triangulaire inférieure dont les termes diagonaux sont la moitié des termes diagonaux de $S$. En particulier ces deux nouvelles matrices ont des valeurs propres strictement positives. Il reste donc à se convaincre qu'il existe une matrice $S$ dont les termes diagonaux sont strictement positifs mais dont les valeurs propres ne sont pas toutes deux positives. Il suffit de faire en sorte que le déterminant soit négatif. À partir de là ce n'est pas compliqué !

    Je ne sais pas si on peut appeler cela une propriété élégante :-).
  • Phil
    Phil
    Merci d'accord, c'est déjà plus élégant que ma démarche !
    En fait, il y a un autre cas où les valeurs propres seraient négatives si $J_1$ est une matrice à diagonale dominante, en utilisant le Théorème de Gerschgorin, le problème est résolu (on voit d'ailleurs que dans le contre-exemple, i lfaut prendre des valeurs "grandes" en dehors de la diagonale).
    Malheureusement ma matrice $J_1$ n'est pas à diagonale dominante, mais elle n'est pas loin, je vais regarder si la somme est à diagonale dominante, ce serait aussi alors résolu.
  • fayfay
    fayfay
    Bonjour
    Je vous contacte car je rencontre le même problème mais le résultat proposé par Gringegre peut me servir sauf que je ne le connais pas et que je ne l'ai pas trouvé sur internet est-ce que vous pouvez me guider. Merci d'avance.
    Cordialement.
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