Anneaux Quotients

Bonsoir à tous,

Voici un petit défi qui a marqué mon esprit aujourd'hui quant j'ai lu un bouquin :

Soient $ A $ un anneau et $ I $ un idéal de $ A $ et $ \pi : A \to A/I $ la surjection canonique.
On pose :
$ \sqrt{(\overline{0})} = \{ \ a \in A/I \ : \ \exists n \in \mathbb{N}^{*} \ \mathrm{t.q.} \ \overline{a}^n = \overline{0} \ \} \ \ $ ( $ \sqrt{(\overline{0})} $ s'appelle le nilradical de $ A/I $ ).
$ \sqrt{I} = \{ a \in A \ : \ \exists n \in \mathbb{N}^{*} \ \mathrm{t.q.} \ a^n \in I \ \} \ \ $ ( $ \sqrt{I} $ s'appelle le radical de $ A $ ).

Question :

Établir que : $ \pi^{-1} ( \sqrt{(\overline{0})} ) = \sqrt{I} $

Cela permet de voir plus clairement le lien qui existe entre le radical et le nilradical.

Cordialement. :-)

@FdP :
Celle là tu veux dire : $ \sqrt{I} \subset \pi^{-1} ( \sqrt{\overline{0}} ) $ ?

Edit : Soit $ a \in \sqrt{I} $, alors : $ \exists n \in \mathbb{N}^* $ : $ a^n \in I $, c'est à dire : $ \overline{a^{n}} = \overline{a}^n = \overline{0} $, c'est à dire : $ \overline{a} = \pi (a) \in \sqrt{\overline{0}} $, c'est à dire : $ a \in \pi^{-1} ( \sqrt{\overline{0}} ) $.

Je laisse quelqu'un voir s'il peut faire l'inclusion inverse. :-)

Pablo:

Débrouille toi tout seul pour changer et arrête de consommer de la démonstration...faite par les autres. B-)-

PS:
Pas la peine de te ruer sur ta collection de pdf, réfléchis un peu. :-D

C'est à dire ? a écrit:

qui fait suite à:

Je laisse quelqu'un voir s'il peut faire l'inclusion inverse. a écrit:

Bonsoir,

Si $ \mathfrak{p} $ est un idéal premier, alors $ \mathfrak{p} = \sqrt{\mathfrak{p}} $ et $ A / \mathfrak{p} $ est intègre. On dit que $ \mathfrak{p} $ est saturé.
svp, si $ \mathfrak{p} $ est premier, pourquoi $ A/ \mathfrak{p} $ est réduit ? ( i.e : ... ne contient aucun élément nilpotent ? ).

Merci d'avance.

Correct !

De $a^n=0$ on ne déduit pas que $a=0$ me semble-t-il.

PS:
Pour terminer le raisonnement il faut, à mon humble avis, supposer qu'on ait pris le plus petit $n>1$ entier tel que $a^n=0$.
Car alors on se retrouve avec $a\times a^{n-1}=0$ sans qu'aucun des facteurs ne soit nul.

Bonsoir,

Soit $ I $ un idéal de $ A $.
Quelle différence existe -il entre le fait de quotienter $ A $ par son radical $ \sqrt{I} $ et le fait de quotienter $ A $, par son nilradical $ \sqrt{(0)} $ ?
Le quel de ces deux expressions permet de tuer les éléments nilpotents de $ A $ ?

Merci d'avance. :-)

Edit : Le fait de quotienter $ A $ par $ \sqrt{(0)} $ permet de tuer tous les éléments nilpotents de $ A $, car : $ \sqrt{(0)} $ contient tous les éléments nilpotents de $ A $.
Par contre, le fait de quotienter $ A $ par $ \sqrt{I} $ permet de tuer tous les éléments de $ \sqrt{I} $ qui n'ont pas de non. ( Je ne comprends pas à quoi cela pourrait servir ) 8-)

Je ne comprend pas ce que tu veux dire @FdP..
J'ai dit que, puisque $ A/ \mathfrak{p} $ est intègre, alors :
$ a^n = 0 \ \Longrightarrow \ a^{n-1} = 0 \ \ \Longrightarrow \ \ a^{n-2} = 0 \ \ \Longrightarrow \ \ \dots \ \ \Longrightarrow \ \ a^{2} = 0 \ \ \Longrightarrow \ \ a=0 $ ( Et là, on arrive à une absurdité ).
Tu pointes du doigt le passage où c'est faux, en expliquant pourquoi, parce que moi, je ne comprends pas ce que tu cherches à me dire. :-)

FdP a écrit:

Ces implications sont fausses pour moi

Essaie d'expliquer pourquoi. 8-)

Par integrité de $ A / \mathfrak{p} $ :
En effet : $ a^{n} = a \times a^{n-1} = 0 \ \ \Longrightarrow \ \ a=0 \ \ \mathrm{ou} \ \ a^{n-1} = 0 $
Par conséquent : $ \Big( a^n = a \times a^{n-1} = 0 \ \ \mathrm{et} \ \ a \neq 0 \Big) \ \ \Longrightarrow \ \ a^{n-1} = 0 $

Et comment, à ton avis, on peut remédier à ce problème ?

Ah d'accord, c'est vrai. merci. :-)

D'accord, merci @Professeur Rectangle. :-)

J'ai une petite question à propos du raisonnement par récurrence :

Parfois, il est demandé de confirmer ou infirmer la véracité d'une propriété : $ P $ définie sur une famille finie $ I \subset \mathbb{N} $ ( Le plus souvent : $ I = \{ 1 , \dots , n \} $ avec : $ n $ non déterminée ).
Est ce que le raisonnement suivant est correcte :
$ \Big( P(k) \ \ \Longrightarrow \ \ P(k+1) \Big) \ \ \Longrightarrow \ \ \forall m \in I = \{ 0 , \dots , n \} $ : $ \ P(m) $ ?


Exemple :

La conjecture de Hodge, consiste à établir que si, l'application suivante : $ \varphi_k : C^{k} ( M , \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Hod}_{k} ( M , \mathbb{Q} ) $ est surjective ou non, pour tout : $ k = 0 , 1 , \dots , n $ et $ n $ est la dimension de la variété $ M $ ( On a : $ C_k ( M , \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Hod}_k ( M , \mathbb{Q} ) $ deux objets appartenant à la catégorie des espaces vectoriels ).
Est ce que, établir que : $ \varphi_k $ est surjective $ \ \ \Longrightarrow \ \ \varphi_{k+1} $ est surjective, permet de conclure que : $ \forall m \in \{ 0 , \dots , n \} $ : $ \varphi_m $ est surjective ?
C'est la nature de $ k $ qui pose problème pour moi, que je veux considérer comme inconnu, je ne sais pas si je dois commencer par dire : Soit $ k $ tel que ... etc, ou non ?

Je ne sais pas si vous avez compris ce que je cherche à savoir.

Merci de m'éclairer sur ce point.

Merci de ne pas me mêler aux obsessions de Pablo. B-)-