Matrices de rang 1

Jacky9393
Jacky9393
dans Algèbre
Bonsoir,

Soient $A,B\in M_n(\R)$ de rang $1$ telles que $A+B$ est de rang $1$. Comment montrer que alors $A$ et $B$ ont même noyau ou image ?
J'ai essayé avec l'écriture sous forme : $A=CL$ où $C$ est une colonne et $L$ une ligne, mais ça ne m'avance pas.

Des suggestions ?

Merci bien

Réponses

  • Magnolia
    Magnolia
    Bonjour

    Soient $f$ et $g$ les applications associées. Il existe $z$ tel que $(f+g)(z)\neq 0$. Que peux-tu dire de $f(z)$ et de $g(z)$?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ton idée de départ était une bonne idée. Si $A$ et $B$ n'ont pas même image, alors $A=CL$ et $B=DM$ avec $C$ et $D$ vecteurs colonnes linéairement indépendants. Tu peux voir dans ce cas ce que la condition $A+B$ de rang 1(l'image est une droite vectorielle) implique pour les vecteurs lignes $L$ et $M$
  • Foys
    Foys
    Quel est l'énoncé exact?
    Parce que $A$ et $B$ n'ont pas forcément la même image (considérer $A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ et $B= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$) ni même noyau (remplacer $A$ et $B$ par leurs transposées dans ce qui précède).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    @Foys tu pourras remarquer que dans ton premier exemple $A$ et $B$ ont même noyau, et même image dans ton deuxième. Ca ne contredit pas l'affirmation que $A$ et $B$ ont même image ou même noyau.
  • Foys
    Foys
    D'accord, c'est ce qui me perturbait.
    Bon je propose les étapes suivantes pour l'exo en le "traduisant" en termes géométriques.
    1) soent $a,b,c,d \in \R$ tels que $ad-bc=(a+1)d-bc=0$. Montrer que $d=0$ et que ($b=0$ ou $c=0$).
    2) Montrer le résultat lorsque $A=[a_{ij}]$ avec $a_{11}=1$ et $a_{ij}=0$ si $(i,j) \neq (1,1)$
    3) En déduire que si $E$ sont des $\mathbb R$-ev de dimension $n$ et $f,g:E \to F$ des applications linéaires de rang 1 telles que $f+g$ est de rang 1 alors $Ker(f)=Ker(g)$, ou $Im(f)=Im(g)$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bof, autant aider Jacky à poursuivre son idée, non ?
  • Jacky9393
    Jacky9393
    Merci GaBuZoMeu ! Ça marche bien en fait !
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Avec plaisir.
  • newser
    newser
    d'après quelle propriété peut-on écrire $A=CL$ ? et $B=DM$ ?
  • christophe c
    christophe c
    Jacky a écrit:
    Merci GaBuZoMeu ! Ça marche bien en fait !

    Tu aurais pu aussi partir de noyaux différents (ça revient probablement au même faut voir): si $v$ est dans le noyau de A sans être dans le noyau de B alors $Av+Bv = Bv$. Pour n'importe quel $w$, il existe $x,y$ tels que $Bw=xBv$ et $Aw+Bw = y(Av+Bv) = yBv$, ce qui donne que $Aw=B((y-x)v)$, et donc l'image de A est incluse dans l'image de B (donc lui est égal car même dimension1)

    Tu aurais peut-être pu trouver "vraiment" tout seul. Là, tu as rédigé formellement avec les notations en vigueur, c'est une chose. Mais, une matrice de rang $\leq 1$ est une matrice dont "toutes les colonnes (et lignes) sont proportionnelles", en termes informels. Au fond, c'est une notion "d'enfance" (le rang 2 deviendrait nettement plus compliqué). Question subsidiaire: ton énoncé a-t-il une interprétation "enfantine"? (Je ne connais de réponse, je pose la question comme ça)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    d'après quelle propriété peut-on écrire

    Pour la raison signalée en fin de mon post précédent (formalise l'affirmation faite)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • JLT
    JLT
    Une manière voisine de résoudre l'exercice : si les noyaux de $A$ et de $B$ sont différents, alors il existe un vecteur $x$ tel que $x\in \ker A\setminus \ker B$.

    On a $(A+B)x=Bx\ne 0$ donc $Bx$ engendre l'image de $A+B$. Pour des raisons de dimension, les images de $B$ et de $A+B$ sont égales. De même, les images de $A$ et de $A+B$ sont égales.
  • christophe c
    christophe c
    @JLT: euu, j'avais fait une erreur (oubli de compléter quelque chose) ou on dit la même chose (je me demande parce que tu finis un peu "savamment")?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • JLT
    JLT
    Non, on dit la même chose, mais je comprends mieux la façon dont je l'écris.
  • christophe c
    christophe c
    ouf, merci (tu)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Bon l'un comme l'autre, faut qu'on soit quand-même prudent avec les jeunes étudiants qui vont taper sur google.

    Rigoureusement, il vaudrait mieux dire "si $Ker(A)\neq Ker(B)$ alors il existe $v\in Ker(A)\setminus Ker(B)$ OU il existe $v\in Ker(B)\setminus Ker(A)$, et sans perte de généralité, on peut supposer il existe $v\in Ker(A)\setminus Ker(B)$ donc blablabla"

    [small]En 2014, je commence à me méfier de comment sera perçu un post :-S[/small]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • JLT
    JLT
    Ou bien il faut préciser que comme ker A et ker B sont des sous-espaces distincts de même dimension, l'un ne peut pas être inclus dans l'autre.
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