Un énoncé pas vraiment vrai

On ne sait pas qui est $n$ et il manque des quantificateurs :-P
Un étudiant qui m'aurait écrit ça aurait reçu un coup de massue cloutée !

$A$ est-il un sous-anneau de $A'$ ?

Faudrait savoir : sous-anneau ou idéal ?

1°) Tu ne réponds pas : sous-anneau ou idéal ?
2°) $\Z[X]$ n'est pas de caractéristique 2, me semble-t-il.

GaBuZoMeu t'a donné un contre-exemple. Quelle est au juste ta question ?

@laurenty: c'est bizarre de traduire "$x+x^n$ et $x+x^{n+1}$ sont dans $A$" par "$(x+x^n)+(x+x^{n+1})\in A$", non ?

JLT, tu as oublié le $x$ en facteur de $a$.

Sauf erreur, les hypothèses (suffit de multiplier $x+x^n$ par $x$ et de lui retirer $x+x^{n+1}$) entraînent l'existence de $a,b,c$ rationnels tels que

Il s'ensuit que $x^n = x^2.x^{n-2} = (ax^{n-1} + bx^{n-2})$. De proche en proche, on remplace l'équation $x^n = c-x$ par une équation du premier degré à inconnue $x$, avec des coefficients rationnels. Il reste à vérifier que cette équation n'est pas $[0x+0=0; inconnue\ x]$ (remarque: peut-être que tout le taf réside là :-D )

Et tu en fais quoi de ta formule (cf message de GaBuZoMeu) ?

@GaBuMeuZo

oups, je ne parlais pas d'idéal, manifestement $2X$ est de toutes façons dans l'idéal engendré par $X+X^n$ et $X+X^{n+1}$ quand on se place dans l'anneau $\Z[X]$ (je mets le raisonnement*** en astérisque si j'ai le temps)

J'ai posté de passage et à la va vite en lisant un post de soland (maintenant modifié) qui demandait la chose suivante:

Soit $n\in \N, x\in \R$ tel que $\{a:=x+x^n; b:=x+x^{n+1}\}\subseteq \Q$, Prouver que $x\in \Q$.

Je refais mon raisonnement (ci-dessus) proprement, je me doute que si tu me fais une remarque, c'est qu'il doit être incorrect (bien qu'à la fin de mon post, j'ai bien précisé un truc) et en le reprenant, je verrais ce que tu veux dire:

$x(x+x^n) - (x+x^{n+1}) = ax - b = x^2-x$, autrement dit $x^2 = (a+1)x-b$. En posant $(u,v):=(a+1, -b)$, on obtient $x^2 = ux+v$. Ensuite on part de $x+x^n=a$ qui entraine $x+(ux+v)x^{n-2}=a$ qui entraîne $x+ux^{n-1}+vx^{n-2}=a$ qui entraîne $x+u(ux+v)x^{n-3}+v(ux+v)x^{n-4}=a$... etc etc

On arrive en descendant de 2 en 2 comme ça à une équation de la forme $\alpha x^2+\beta x+\gamma $ disons, qui entraine $\alpha (ux+v)+\beta x+\gamma $, c'est à dire finalement une équation affine à une inconnue $x$ à coefficient rationnels. Et comme je l'ai dit, je n'ai aucune idée de si oui ou non, ça va donner finalement un truc de la forme $[0x+0=0]$ comme je l'ai dit. Il est possible que tout connement, j'ai exploité 2 fois la même information et que ça donne justement (sans que je ne le vois en postant) $[0x+0=0]$ à la fin.

[small]***Si $x-y=0$ et $x-yx=0$ alors $x=y$ et $x=x^2$. Il s'enquit que si $y=-x^n$ alors $x+x^n = 2x=0$[/small]

Soit la division euclidienne (dans $\Q[X]$)

$X^n+X = P(X) (X^2-uX-v) + rX+s$. Si le raisonnement que j'ai fait ci-dessus aboutit à l'impasse $[0x+0=0; inconnue\ x]$ alors, sauf erreur, $x+x^n=rx+s$ qui est rationnel. Il s'ensuit que $r=s=0$ et que $X^n+X$ est multiple de $ (X^2-uX-v)$. Idem $X^{n+1} + X$ est aussi multiple de $(X^2-uX-v)$. Donc $X^n(X-1)$ aussi. Mais alors $x\in \{0;1\}$, sauf erreur

[small]@Zephir, oui, je m'y mets, je viens seulement d'arriver chez moi, j'en avais profité pour faire une escapade au ciné et ai vu un excellent [small]film[/small] (sous les jupes des femmes)[/small]

Réunir mes deux posts pour une démonstration, je dois déconnecter, je ne fais pas d'edit, je redis les étapes (sauf erreur)

1/ Trouver une équation de la forme $ex+k=0$ avec $e,k$ rationnels en utilisant mon premier post "ccnc" ou ma réponse à Meu, où les $e,k$ obtenu mécaniquement peuvent valoir tous deux $0$

2/ Tirer de l'hypothèse $e=k=0$ en partant de $x^n+x$ rationnel que $X^n+X$ multiple de $X^2-uX-v$ (u,v def dans mon post à Meu)
3/ Tirer de l'hypothèse $e'=k'=0$ en partant de $x^{n+1}+x$ rationnel que $X^{n+1}+X$ multiple de $X^2-uX-v$ (u,v def dans mon post à Meu), les $e',k'$ étant obtenus de la même façon que $e,k$ mais en partant de $x^{n+1}+x$ au lieu de $x^n+x$ rationnel

4/ Conclure alors $x^n(x-1)=0$ (car $x^2-ux-v=0$)

Remarque: ça résout le problème de soland (new version) dans le cas où $A$ est un corps et $A'$ un suranneau

Remarque : comme $(X-1)(X^2+X+2)=X^3+X-2$, il existe un nombre complexe non rationnel $x$ tel que $x^2+x$ et $x^3+x$ sont rationnels. Donc toute tentative de démonstration qui a l'air de marcher pour $A=\Q$ et $A'=\C$ est suspecte.

Je ne sais pas si c'est les vacances ou l'âge, mais je comprends difficilement qui se passe dans ce fil.
Entre
- Soland qui joue au sphinx sans que je puisse comprendre ce qu'il affirme pour de vrai.
- Christophe qui après plusieurs posts prétend faire une preuve respectueuse des visiteurs en écrivant "les anneaux polynômes blabla", alors que ce blabla me semble avoir une certaine importance (par exemple si les coefficients $r$ et $s$ sont dans $\Q(x)$, à quoi ça nous avance ?). Christophe, visiblement tu n'as pas compris que l'idéal dont je parlais est celui des polynômes à coeffcients rationnels qui annulent $x$. Cet idéal ne contient pas $X^n+X$, mais $X^n+X-(x^n+x)$, par exemple.
- JLT dont je ne comprends pas l'argument. En suivant ce que dit JLT : puisque $x^3+x$ est rationnel, $x^3+x-2$ itou. Puisque $x^2+x$ est rationnel, $x^2+x+2$ itou. Donc si $x^3+x-2$ n'est pas nul, $x-1$ est rationnel et $x$ itou.

Bon, au moment de poster je m'aperçois que Christophe a vu que son histoire foirait. Je poste tout de même.

Et dans la mesure où JLT a posté une première démonstration dans le cas $(A,A'):=(\Q,\R)$ dont la fin est un petit peu trop savante, m'est avis que le fil n'est pas clos (moi je pars sur la route hélas) et que le défi consiste à trouver un argument ultraplussimple (s'il existe), ce serait sympa, non? (Evidemment, vu le dernier post de JLT, il faudra à un moment utiliser les propriétés spécifiques du corps $\R$)

Ah pardon, erreur de frappe, je voulais taper $X$, puis l'effet des copiés-collés... Merci, je n'avais même pas relu.

Bonsoir,

j'ai craqué j'ai regardé la correction.
En fait il y a une solution dite expéditive, la solution me semblait longue mais il est donné également une solution qui cadre avec les Olympiades Françaises de Mathématiques, l'exercice étant un test pour celles-ci.
J'ai copié ci-dessous, dans les grandes lignes la solution expéditive.



Solution expéditive :
$x$ est un nombre algébrique. Il est racine de $R(X)=X^n+X-r$ et de $R(X)=X^{n+1}+X-s$ et donc de $P(X)=XR(X)-S(X)=X^2-(r+1)X+s$.
Tous ces polynômes sont dans $\mathbb{Q}[X]$.
Supposons $x \not\in \mathbb{Q}$.
Dans l'anneau euclidien $\mathbb{Q}[X]$, l'idéal des polynômes admettant $x$ comme racine est un idéal principal. Le polynôme minimal de $x$ est de degré $\geqslant 2$.
Puisque $P$ est normalisé, avec $x$ pour racine montre qu'alors $x$ est algébrique de degré 2 et $P$ est son polynôme minimal.
Par ailleurs $P$ a deux racines réelles distinctes.
Donc pour tout $Q \in \mathbb{Q}[X]$ tel que $Q(x)=0$ on a $P | Q$ et admet donc au moins deux racines réelles.
A fortiori pour $R$ et $S$.
Si $n$ est pair $R$ en tant que fonction polynomiale est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. $R$ ne peut pas avoir 2 racines réelles distinctes. Contradiction.
Si $n$ est impair on utilise $S$ pour avoir le même type de contradiction.


S

En fait la solution que tu qualifies d'expéditive n'est pas d'un "niveau olympique" (dixit Quadrature, qui propose ensuite une soution élémentaire)
Par ailleurs dans cette solution expéditive
Quadra fait une coquille : si $x$ est racine d'un polynôme à coefficients dans $Q$ de degré 2
alors $x$ est en fait algèbrique sur $Q$ de degré inférieur (pas supérieur) ou égal à 2 cad son polynôme minimal
est de degré 1 ou 2.
Donc si on suppose le réel $x$ non rationnel c'est qu'il n'est pas de degré 1 donc de degré 2 et son polynôme minimal est de degré 2
donc c'est $P$ vu que $P$ est unitaire
Ensuite effectivement on peut conclure à partir du fait que $P$ a deux racines réelles distinctes : mais personnellement je trouve que le qualificatif distinctes méritait une petite explication.

A l'époque j'avais donné une solution "élémentaire" (autre que celle proposée par Quadrature) et qui consistait à montrer que la racine carrée du discriminant de $P$ , que je note $\delta$, était un rationnel, cela en utilisant le fait que $x$ était racine de $X^n-X+1$ :
en développant selon le binôme on obtient
$a\delta+b=0$ avec $a,b$ rationnels et il ne reste plus qu'à justifier que $a$ est non nul.

Oui tu as raison,
j'ai tort sur la coquille : ils commencent par x pas rationnel et non pas par x racine d'un second degré
(comme je le fais)