anneau dodécaèdre

J'essaye de mettre sur l'ensemble constitué des faces, des arêtes et des sommets (+1 ou 2 éléments) d'un solide de Platon une structure d'anneau avec un ordre qui s'exprime avec la multiplication, et que cet ordre soit celui du polyèdre concerné (une i-face est plus petite qu'une j-face si la i-face est contenue dan la j-face).

Pour le tétraèdre, c'est $\mathbb{F}_2^4$ l'odre c'est $x\leq y$ ssi $x=xy$,
pour le cube et l'octaèdre c'est $\mathbb{F}_3^3$, l'ordre pour l'octaèdre c'est $x\leq y$ ssi $x=x^2y$ et pour le cube c'est le dual de cet ordre.
Les solides duaux l'un de l'autre ont même anneau c'est juste que l'ordre est dual l'un de l'autre

On cherche l'anneau du dodécaèdre (et on aura du même coup celui de l'icosaèdre), un dodécaèdre a 20 sommets, 30 arêtes et 12 faces
En tout cela fait 62, mais on rajoute le solide tout entier comme pour le cube, on doit donc chercher un anneau à 63 éléments

Je crois aussi que l'addition doit être compatible avec la symétrie centrale de centre le milieu du dodécaèdre, c'est à dire que que faire l'opération puis faire la symétrie c'est pareil que faire la symétrie puis faire l'opération

Je dis ça parce que je pensais dire qu'à partir d'un sommet $x$ d'ordre 3 (en tenant compte de mon message précédent) (le cube inscrit est fixé) les six éléments $x+(0,0,i)$, $i$ entre 1 et 6 sont les trois arêtes qui touchent le sommet et, soit (type 1) deux sommets reliés à x et une face qui contient ces deux sommets et x, soit (type 2) deux faces qui contiennent x et le sommet commun (en plus de x) à ces deux faces.

Je crois aussi que la compatibilité avec la symétrie implique que l'opposé d'un élément est la k-face opposée, et que le solide tout entier est le neutre

Le sommets commun aux face violet cyan et jaune sur le dessin est de type 2 en les faces qui sont majoritairement cyan et jaunes, le sommet opposé diagonalement (diagonale de la face carrée du haut) à ce dernier est aussi de type 2, les deux autres sur la face du haut sont de type 1, par symétrie on déduis le type des quatre autres sommets d'ordre 3

Donc je pense qu'on a trouvé l'addition, qu'en pensez vous?
Des idées pour la multiplication?

Pour les équation des ordre on peut démontrer que ce sont des ordres pour les cas infini
pour les anneau de Boole:
réflexivité triviale,
$x\leq y$ et $y\leq x$ implique $x=xy$ et $y=xy$ donc $x=y$
Si $x\leq y$ et $y\leq z$ alors $x=xy$ et $y=yz$ donc $x=xyz=xz$

Pour les 3-anneaux :
réfléxivité triviale
$x\leq y$ et $y\leq x$ implique $x=x^2y$ et $y=y^2x$ donc $x=x^2y^2x=xy^2=y$
Si $x\leq y$ et $y\leq z$ alors $x=x^2y$ et $y=y^2z$ donc $x=x^2y^2z=xyz=x^3yz=x^2z$

Merci de ta réponse