On part de l'ensemble des êtres humains et on dit que deux éléments sont équivalents s'ils ont le même sexe.
L'ensemble quotient à deux éléments : l'ensemble des femmes et celui des hommes.
Bonsoir @Philippe : @matheose demande que l'ensemble quotient construit résulte d'un groupe non commutatif fini.
Si, je comprend bien sa question, il cherche un ensemble $ E $ tel qu'il existe un groupe non commutatif fini $ G $ et une relation d'équivalence $ \mathcal{R} $ sur $ G $, telles que : $ E = G/ \mathcal{R} $, et que $ E $ ne dispose pas d'une structure de groupe.
:-)
Bonjour
Dans le prisme droit ci-dessous, la face opposée à une face X est notée X' .
Si l'on quotiente l'ensemble des faces par le groupe (commutatif) engendré par les demi-tours autour des axes rouges, les classes sont
$\{ AA' \}$, $\{ BB'DD' \}$, $\{ CC' \}$, $\{ EE' \}$.
Si le groupe est agrandi par adjonction du quart de tour autour de l'axe $x$, donnant un groupe non commutatif, certaines classes fusionnent :
$\{ AA'CC' \}$, $\{ BB'DD' \}$, $\{ EE' \}$.
Si le groupe est encore agrandi en ajoutant une symétrie plane, les classes ne changent plus.
Cordialement.
Il y a visiblement une confusion. La notion d'ensemble quotient existe indépendamment de celle de groupe.
Par ailleurs, si tu te donnes un ensemble fini à $n$ éléments, tu peux considérer que cet ensemble est $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ce qui le munit d'une structure de groupe.
Bref, il faudrait que tu clarifies aussi l'expression "qui ne soit pas un groupe quotient".
Je suppose que tu demandes un exemple de quotient de groupe par un sous-groupe qui ne soit pas muni d'une structure de groupe compatible avec le passage au quotient (i.e. en notant $\overline{x}$ la classe d'équivalence de $x$ on n'ait pas $\forall g, h \in G, \overline{g}\overline{h} = \overline{gh}$).
Pour cela, comme l'a dit Nicolas Patrois, il suffit de quotienter par un sous-groupe qui n'est pas distingué.
Oui, j'aurai dû préciser mais j'ai eu un peu la flemme(d'où les espaces douteux dans mon message).
Effectivement , je cherchais un exemple de "quotient par un sous groupe non distingué" c'est à dire
si $(G,*)$ est un groupe et $(H,*)$ est un sous groupe non distingué de G, on pose l'ensemble quotient à droite $(G/H)_d$ (en fait je devrais écrire $(G/R_{H_d})$ avec $R_{H_d}$ la relation d'équivalence "
$x R_{H_d} y$ ssi $x*y^{-1} \in H$" ) et de même $(G/H)_g$ avec $R_{H_g}$ la relation d'équivalence "
$x R_{H_g} y$ ssi $y^{-1}*x \in H$" ) pour l'ensemble quotient à gauche.
($(G/H)_d$,*) ne doit pas être un groupe.
L'exemple de Nicolas Patrois est le premier auquel j'ai pensé mais j'en cherche un plus simple(moins général en fait).
Celui de Soland me plait beaucoup.
Maintenant , j'avais pensé à un groupe symétrique $(S3, o )$ et $(<( 1 2 ) >, o)$ (o pour la composition) mais cela me plaisait moyennement. J'ai aussi vaguement pensé à un groupe de matrices.(un exemple sympa en tête ne vous gênez pas).
La notation habituelle est $G/H=\{xH\}$ et $H\backslash G=\{Hx\}$.
Exemple : le théorème de décomposition polaire identifie $GL_n(\R)/O_n(\R)$ à $S_n^{++}(\R)$.
Réponses
On part de l'ensemble des êtres humains et on dit que deux éléments sont équivalents s'ils ont le même sexe.
L'ensemble quotient à deux éléments : l'ensemble des femmes et celui des hommes.
@matheose demande que l'ensemble quotient construit résulte d'un groupe non commutatif fini.
Si, je comprend bien sa question, il cherche un ensemble $ E $ tel qu'il existe un groupe non commutatif fini $ G $ et une relation d'équivalence $ \mathcal{R} $ sur $ G $, telles que : $ E = G/ \mathcal{R} $, et que $ E $ ne dispose pas d'une structure de groupe.
:-)
Dans le prisme droit ci-dessous, la face opposée à une face X est notée X' .
Si l'on quotiente l'ensemble des faces par le groupe (commutatif) engendré par les demi-tours autour des axes rouges, les classes sont
$\{ AA' \}$, $\{ BB'DD' \}$, $\{ CC' \}$, $\{ EE' \}$.
Si le groupe est agrandi par adjonction du quart de tour autour de l'axe $x$, donnant un groupe non commutatif, certaines classes fusionnent :
$\{ AA'CC' \}$, $\{ BB'DD' \}$, $\{ EE' \}$.
Si le groupe est encore agrandi en ajoutant une symétrie plane, les classes ne changent plus.
Cordialement.
P.S. L'octogone n'est pas régulier.
-- Schnoebelen, Philippe
Il y a visiblement une confusion. La notion d'ensemble quotient existe indépendamment de celle de groupe.
Par ailleurs, si tu te donnes un ensemble fini à $n$ éléments, tu peux considérer que cet ensemble est $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ce qui le munit d'une structure de groupe.
Bref, il faudrait que tu clarifies aussi l'expression "qui ne soit pas un groupe quotient".
Je suppose que tu demandes un exemple de quotient de groupe par un sous-groupe qui ne soit pas muni d'une structure de groupe compatible avec le passage au quotient (i.e. en notant $\overline{x}$ la classe d'équivalence de $x$ on n'ait pas $\forall g, h \in G, \overline{g}\overline{h} = \overline{gh}$).
Pour cela, comme l'a dit Nicolas Patrois, il suffit de quotienter par un sous-groupe qui n'est pas distingué.
Oui, j'aurai dû préciser mais j'ai eu un peu la flemme(d'où les espaces douteux dans mon message).
Effectivement , je cherchais un exemple de "quotient par un sous groupe non distingué" c'est à dire
si $(G,*)$ est un groupe et $(H,*)$ est un sous groupe non distingué de G, on pose l'ensemble quotient à droite $(G/H)_d$ (en fait je devrais écrire $(G/R_{H_d})$ avec $R_{H_d}$ la relation d'équivalence "
$x R_{H_d} y$ ssi $x*y^{-1} \in H$" ) et de même $(G/H)_g$ avec $R_{H_g}$ la relation d'équivalence "
$x R_{H_g} y$ ssi $y^{-1}*x \in H$" ) pour l'ensemble quotient à gauche.
($(G/H)_d$,*) ne doit pas être un groupe.
L'exemple de Nicolas Patrois est le premier auquel j'ai pensé mais j'en cherche un plus simple(moins général en fait).
Celui de Soland me plait beaucoup.
Maintenant , j'avais pensé à un groupe symétrique $(S3, o )$ et $(<( 1 2 ) >, o)$ (o pour la composition) mais cela me plaisait moyennement. J'ai aussi vaguement pensé à un groupe de matrices.(un exemple sympa en tête ne vous gênez pas).
Exemple : le théorème de décomposition polaire identifie $GL_n(\R)/O_n(\R)$ à $S_n^{++}(\R)$.
Pardon d'insister. , si * est la loi de groupe sur $G$ cette loi, à priori, ne peut même pas être définie, sauf erreur, sur l'ensemble quotient.