Implication à démontrer
Bonjour :-) ,
Je voudrais savoir si je démontre bien. J'aurais une autre question si éventuellement je ne m’étais pas trompé.
$(x+\sqrt {x^2+1})(y+\sqrt {y^2+1})=1\Longleftrightarrow x+y=0 $
En faisant comme cela.
(x+x+1)(y+y+1)=1
4xy+2x+2y=0
x= -x-y/y y= x+y/x
x-y/y = -y+x/x
x(-x-y) = y(x+y)
x = -y
Je voudrais savoir si je démontre bien. J'aurais une autre question si éventuellement je ne m’étais pas trompé.
$(x+\sqrt {x^2+1})(y+\sqrt {y^2+1})=1\Longleftrightarrow x+y=0 $
En faisant comme cela.
(x+x+1)(y+y+1)=1
4xy+2x+2y=0
x= -x-y/y y= x+y/x
x-y/y = -y+x/x
x(-x-y) = y(x+y)
x = -y
Réponses
-
Il n'y a aucune démonstration. Juste une suite d'égalité.
Qui est $x$ ? Qui est $y$ ? Quel est le statut des différentes lignes (vraies/fausses/autre) ? Y a-t-il un lien entre les différentes lignes ? etc. -
La simplification de $\sqrt {x^2+1} $ en $ x+1$ est osée...
-
Sans compter qu'aucune explication n'est donnée sur la manière de passer d'une ligne à la suivante.
-
En effet c'est pas tres clair. Je simplifie l'expression a gauche de l'implication :
(x+x+1)(y+y+1)=1
En developpant j'ai :
4xy+2x+2y=0
Pour ensuite trouver x= -x-y/y et y= -x-y/x
Si x+y=0 alors x-y/y = -y+x/x
Je simplifie :
x(-x-y) = y(x+y)
Pour trouver x = -y
Le statut des lignes est vraie. Pourquoi la simplification est osee ? -
"Je simplifie l'expression a gauche de l'implication" : comment effectues-tu cette simplification ?
"Pour ensuite trouver" : comment ?
"Si x+y=0 alors x-y/y = -y+x/x " : pourquoi ?
Manque-t-il des parenthèses ?
"x(-x-y) = y(x+y)
Pour trouver x = -y "
Comment as-tu obtenu la dernière ligne ? -
Qui est $x$ ? Qui est $y$ ? Quel est le lien entre les différentes lignes ? Tu dis que les lignes sont vraies, faut-il deviner que tu choisis $x$ et $y$ des réels tels que $(x+\sqrt {x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$ ? Si oui tu ne pourras au mieux montrer une des implications demandées. Pour que le lecteur comprenne que ce sont bien tes intentions, tu pourrais par exemple écrire :
"Soient $x$ et $y$ des réels tels que $(x+\sqrt {x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$. Montrons $x+y=0$.".
Mais est-ce bien ce que tu as en tête ? -
P.S. Il serait bon, quand tu passes d'une ligne à la suivante, que tu expliques clairement quelle règle tu utilises, déjà pour s'assurer que tu n'utilises pas de règles fausses !
-
Je fait apparaitre les racines de y²+1 et de x²+1 entre chaque paranthese.
Pour trouver x et y je les isole a partir de 4xy+2x+2y=0
que j'ai developper a partir de (x+x+1)(y+y+1)=1
Si x+y=0 alors x-y/y = (-y+x)/x parce que je remplace x par (-x-y)/y et y par y= (-x-y)/x dans x+y=0
J'ai oublie les parantheses
en effet ...
Pour la derniere ligne j'ai remarquer que les x et y dans les parantheses etaient les opposes de part et d'autre de l'egalite.
Comme les deux parantheses ont pour facteur l'une x et l'autre y, je me suis dit qu'en changeant le signe de y cela permettait de changer les signes de la paranthese accolee. Et en simplifiant ensuite faire apparaitre x=-y -
Bon, tu ne m'as pas l'air très sérieux. Je reviendrai commenter quand tu auras réfléchi sérieusement aux remarques qui t'ont été faites et que tu en auras tenu compte.
-
Bonsoir,
Il me semble que Bulot ne lit aucun message. Je vais me coucher...
Bonne nuit !
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
@H.Je viens seulement de lire vos remarques, j'ai repondu pour le post de JLT d'il y a 18mn.
Merci pour vos remarques. Avec la fatigue j'ai un peu de mal a lire, je voulais savoir si j'avais faux avant d'aller dormir justement
Je sais maintenant que j'avais faux, je tiendrai compte de vos remarques avant de poster demain. Et si vous en avez d'autres d'ici la, elles sont les bienvenues
Bonne nuit -
La chose la plus importante si tu veux faire des maths, c'est de ne pas "inventer" de règles. Et la première chose est de vérifier dans un cours si les règles que tu appliques y figurent.
-
OK.
-
JLT écrivait:
> La chose la plus importante si tu veux faire des
> maths, c'est de ne pas "inventer" de règles. Et
> la première chose est de vérifier dans un cours
> si les règles que tu appliques y figurent.
Ces regles c'est pour la simplification osee comme disait yalta plus haut ? Ou pour d'autres choses encore ? -
Entre autres choses oui.
-
H écrivait:
> Entre autres choses oui.
Les autres choses sont quelles lignes svp ? Ca m'aidera demain. -
On t'a déjà fait pas mal de remarques. Il faut que tu réfléchisses à tout cela. Quand à dire où sont les erreurs... on ne peut pas vraiment vu que ton texte n'est pas une démonstration, comme déjà signalé.
-
Salut.
Strucure ton calcul. Commence p.ex. comme ceci :
(1) Si $x+y=1$, alors, en remplaçant $y$ par $-x$ dans
$(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})$ on obtient
$(*)\quad(x+\sqrt{x^2+1})(-x+\sqrt{x^2+1})$.
En utilisant l'identité $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ ... Etc.
(2) Si $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$, alors...
Cordialement -
Complément au message de soland : tu vois comment il procède pour démontrer quelque chose. A chaque étape il donne une justification précise, comme : "en remplaçant $y$ par $-x$", ou "en utilisant l'identité $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$.
-
En clair on n'a pas $\sqrt{x^2+1}=x+1$ pour tout $x\in\R$.
-
Bonjour .Merci pour vos remarques, @soland , c'est simple et efficace en commencant de "ce cote" , je vais tenter de faire la suite.
@archimede, vous avez raison pour la simplification osee, en fait j'avais a l'esprit qu'en faisant comme cela j'aurai la valeur absolue de x ou y, mais je m'etais dit qu'il resterait le signe du x ou y qui etait additione a la racine dans les parantheses. J'ai penser naivement(?) que je pouvais parce que cela respecterai le signe du produit et que les operations etaient identiques dans les deux parantheses.
Je n'aurai pas ose le faire s'il n'y avait eu les x et y que sous les racines.
Mais je n'etais pas tout a fait sur que c'etait faisable... -
Merci pour ton commentaire bulot, je comprends mieux.
En math c'est en fait assez simple : pour savoir si une preuve est juste, on détaille suffisamment (au moins dans sa tête) pour que chaque étape soit l'application d'une règle que l'on sait être vraie. S'il te reste des étapes qui ne sont basés que sur des impressions, des analogies, des intuitions ou autres, c'est que tu n'as pas de preuve en tête. Or avoir une preuve en tête est l'unique objectif. -
Il faut aussi que tu revoies la structure de ton raisonnement (enfin, pour l'instant il n'y en a pas). Supposes-tu que $x$ et $y$ sont deux réels tels que $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$ ? Supposes-tu que $x$ et $y$ sont deux réels tels que $x+y=0$ ? J'ai l'impression que tu supposes les deux (mais ce n'est qu'une impression, on ne peut guère que jouer aux devinettes vu que tu ne le précises pas et que, peut-être, tu ne le sais pas toi-même). Or, si tu supposes que les deux égalités sont vraies, tu ne peux évidemment pas montrer l'équivalence demandée (comprends bien ce que signifie ce que tu dois démontrer ? Si ce n'est pas parfaitement clair il faut commencer par étudier cela).
-
Bonjour,
$(x+\sqrt {x^2+1})(y+\sqrt {y^2+1})=1\Longleftrightarrow \sqrt {x^2+1}+x=\sqrt {y^2+1}-y$
Cordialement,
Rescassol -
En faisant un changement de variable avec un sinus hyperbolique, le problème devient très simple...
Mais c'est probablement hors de portée de Bulot, malheureusement.
Ceci étant, je vais garder cet énoncé sous le coude pour mes petits sup ! -
Je n'ai pas compris ce qu'illustrait le graphique de Rescassol. On peut parvenir à l'équivalence qu'il suggère par voie algébrique seulement à coup de quantité conjuguée.
Par ailleurs, il est immédiat, je pense, que $xy\leq 0$ -
@ bisam : Un coup de logarithme avant ça, j'espère... Sinon, pauv' gosses !
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Rescassol:
Ne confonds-tu pas l'équation :
$\sqrt {x^2+1}+x=\sqrt {x^2+1}-x$ d'une part
et l'équation:
$\sqrt {x^2+1}+x=\sqrt {y^2+1}-y$
d'autre part? -
bonsoir
comme le suggère bisam le passage aux sinus hyperboliques est fort utile
tu poses $x = sht$ et $y = shu$
ton équation initiale devient ; $(sht + cht)(shu + chu) = 1$
soit encore : $e^t.e^u = 1$ et donc $t + u = 0$
puisque la fonction exponentielle ne prend la valeur $1$ que pour la variable nulle
or sinus hyperbolique ne s'annule que pour également la variable nulle donc :
ton équation implique $t + u = 0$ qui implique elle-même $x + y = 0$
cordialement -
Bonjour,
Non,FdP, je ne confonds pas.
On vois très bien bien sur mon dessin que le point de la courbe bleue d'abscisse $x$ et le point de la courbe rouge d'abscisse $y$ ont même ordonnée si et seulement si $x$ et $y$ sont opposés.
De plus, c'est évident sur les équations de $f$ et $g$.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
Merci pour tout ces commentaires.
@H : Je cite :Supposes-tu que x et y sont deux réels tels que (x+rac(x²+1))(y+rac(y²+1))=1 ? Supposes-tu que x et y sont deux réels tels que x+y=0 ?
Oui je supposait que (x+rac(x²+1))(y+rac(y²+1))=1 etant vraie, x+y=0 etait vraie aussi et inversemment.
@Rescassol: L'espression non accompagnee du graphique est elle considerre comme une demonstration juste ? Sinon me vient une question sur l'expression initiale: Le fait que le produit soit egal a l'element neutre pour un produit et que de l'autre cote de l'implication la somme donne l'element neutre pour l'addition n'est pas un hasard si ?
@Soland: La demonstration en partant de x=-y est elle la meme si on utilisait l'implication "=>" ? Suffit elle aussi a demontrer dans l'autre sens ?
@fin de partie : Je ne comprends pas pourquoi : Par ailleurs, il est immédiat, je pense, que xy=<0
@H et autres: J'ai beaucoup de mal a rediger et structure de maniere correcte, j'ai du mal avec la notion de demonstration meme. J'essaie justement de remedier a ca. -
Bonjour,
Ma figure ne fait qu'illustrer.
Dans un sens, $g(x)=f(-x)$ donc $y=-x$ est solution.
Les deux courbes sont symétriques par rapport à $Oy$.
Dans l'autre sens, la conclusion (l'unicité) vient de la monotonie.
$f(x)=\sqrt {x^2+1}+x$, donc $f$ est croissante sur $\mathbb R_+$ comme somme de deux fonctions croissantes.
On en déduit que $g$ est décroissante sur $\mathbb R_-$ (et positive comme $f$), puis comme $f(x)=\dfrac{1}{g(x)}$, $f$ est aussi croissante sur $\mathbb R_-.$
Tout celà est largement du niveau lycée, sans aller chercher des trucs et des machins hyperboliques.
Cordialement,
Rescassol -
(1) Relis à haute voix (cf. le gueuloir de Flaubert) ce que tu as écrit. Ça doit s'écouter comme du bon français, style et tout.
(2) Fais bien la différence entre $A\Rightarrow B$ et $B\Rightarrow A$.
(3) A exclure absolument car indéfendable :
(3.1) Il est clair que, évident que
(3.2) On voit que
(3.3) Transformations sans justification
(3.4) Trivialement, ...
Etc. -
@H Je sais pas si j'ai bien compris le sens de la question; je me disai qu'il fallait verifier que pour tout x et y qui verifiait (x+rac(x²+1))(y+rac(y²+1))=1
ils verifiaient egalement que x+y=0.
Et inversemment.
@Rescassol : Je ne sais pas ce que c'est des hyperboles et j'ai un niveau (petit) lycee justement. Mais j'ai compris.
@soland : Merci, Il est ou ce gueuloir ? Je veux bien le lire. edit : j'ai trouvé. -
Bonjour,
Je n'ai pas parlé d'hyperboles, mais tu peux toujours taper ce mot dans Google.
J'ai seulement réagi à un intervenant qui avait parlé de sinus hyperbolique, notion post-bac dont on peut facilement se passer dans cet exercice.
Cordialement,
Rescassol -
bulot a écrit:Je sais pas si j'ai bien compris le sens de la question; je me disai qu'il fallait verifier que pour tout x et y qui verifiait (x+rac(x²+1))(y+rac(y²+1))=1
ils verifiaient egalement que x+y=0.
OK. Donc quand tu écris ta démonstration, il doit y avoir deux parties.
Première partie :
Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $x+y=0$. Montrons que $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$.
(... calculs justifiés en détail, en expliquant à chaque fois la règle utilisée pour passer d'une ligne à la suivante...)
Donc $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$.
Deuxième partie :
Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$. Montrons que $x+y=0$.
(... calculs justifiés en détail, en expliquant à chaque fois la règle utilisée pour passer d'une ligne à la suivante...)
Donc $x+y=0$. -
@JLT Merci pour ces precisions, est ce que je peux poser des questions concernant un autre domaine ? J'hesite a ouvrir un nouveau sujet juste pour ca, je m'excuse d'avance si j'aurai du le faire ...
J'essayai de resoudre un exercice demander de demontrer une partie stable :
Une loi interne notee croix :
(x,y) croix ( x',y') = (xx',yy')
A la question 1 et 2 ; J'ai demontrer qu'elle est associative et commutative. J'ai trouver les elements possedant un symetrique.
Question 3 : Demontrer que S=R croix {0} est une partie stable de ( R croix R , croix), la partie stable possede t elle un element neutre pour la multiplication des couples ?
Et ma question concerne la signification de S=R croix {0} ? Que signifie {0} ?
Ensuite ( R croix R , croix) , ca decrit la loi interne R croix R mais que signifie la virgule avec croix ensuite ? -
Bonjour,
Posons
\[
f:
\left\{
\begin{array}{lcl}
\mathbb{R}& \longrightarrow&\mathbb{R}^{+*} \\
x&\longmapsto&x+\sqrt{x^2+1} \\
\end{array}
\right.
\]
Qestions :
a) La fonction $f$ ainsi définie est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ? (Strictement) positive sur $\mathbb{R}$ ? Pourquoi ?
b) Quelle est la dérivée de $f$ ? Que remarque-t-on ?
c) La fonction $f$ est-elle bijective ? Pourquoi ?
d) Si $x$, $y\in\mathbb{R}$ sont tels que $f(x)=f(-y)$ (cf. ce message, i.e. que $f(x)\,f(y)=1\Leftrightarrow f(x)=f(-y)$), que peut-on déduire de ce qui précède ?
Avec tout mon respect,
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
$\R\times \R$ est l'ensemble des couples de réels. Par exemple $(\pi,\sqrt{2})$ est un élément de $\R\times \R$.
$\R\times \{0\}$ est l'ensemble des couples de la forme $(x,0)$ où $x$ est un réel. Par exemple, $(-4,0)$ appartient à $\R\times \{0\}$ mais $(0,4)$ n'appartient pas à $\R\times \{0\}$.
La notation $(\R\times \R,\times)$ signifie que l'ensemble $\R\times \R$ est muni de l'opération $\times$. -
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
-
Tu écris $(x,y)$ croix $(x',y') = $ etc.
où habitent $x$, $x'$, $y$ et $y'$ ? -
@thierry
Non je ne suis pas au Maroc mais en France. Je ne passe pas le bac, mais j'ai un livre (vieux) d'exercices de maths de seconde.
a) La fonction f est continue et strictement positive sur R car elle est la somme de fonctions continue et est definie sur R et a valeur dans R*+
b) La derivee si j'ai pas commis d'erreur (ca fait lgtps que j'ai pas calcule de derivee )
f'= [x/rac(x²+1)]+1
Je ne remarque rien de particulier malheuresement...
c) Je dirai que la fonction est bijective car elle est injective et surjective. Car toute image dans R+* possede un seul antecedent dans R.
d) On peut deduire que si f(x)f(y)=1 <=> f(x)+f(y)=0
On a f(x)=1/f(y)
C'est a dire la fonction reciproque ? Mais est ce que 1/f(y) = f(-y) ? J'espere ne pas avoir repondu trop vite ici.
@JLT Merci pour l'explication de la syntaxe !
@Soland Pardon, j'ai oublie de le mentionner : ils habitent dans R. -
Comment justifies-tu par exemple le c) de ton dernier message ? Dans une preuve, on détaille (au moins dans sa tête) toutes les étapes pour ne se ramener qu'à des choses que l'on sait être vraies (sans l'ombre d'un commencement de doutes).
-
Pour ma part, j'abandonne... L'on ne fait pas de la mathématique comme l'on ferait de la cuisine.
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
@H Pour le c) Je ne sais pas comment l'expliquer de maniere ''propre'', les etapes dans ma tete c'est : je me suis dit que la fonction est continue et croissante ce qui la rend injective. Ensuite je me suis dit que tout l'ensemble R+* contenait une image d'un antecedant de R donc surjective.
@Thierry : J'en suis desole Edit : j'ai vu que j'avais fait une erreur a la ligne d) j'avais mal mis le signe - -
OK. On gagnerait en clarté de communication si tu nous distinguais clairement dans tes messages ce que tu sais montrer, ce que tu penses être vrai sans savoir le montrer, etc. Comment montrer par exemple la croissance ?
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