Implication à démontrer
Réponses
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@Rescassol Je sens comme une pointe d'ironie derriere ce message ou je me trompe ? :-)
Sinon quelqu'un peut me corriger ce que j'ai repondu a Thierry qui a jeter l'eponge avant ? Que je sache ou j'ai ecrit des aneries svp -
Ré explique déjà pourquoi elle est strictement positive. Avec des détails précis.
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Je pense qu'elle est strictement croissante et positive parce que :
Croissante car c'est une somme des deux fonctions strictement croissante b(x) = x et a(x)= rac(x²+1).
Et comme f(x) = b(x)+a(x), f(x) est croissante aussi.
Et positive ensuite parce que rac(x²+1) >0 et >x -
Pourquoi pas. Mais si tu dis "je pense" c'est que ce n'est pas totalement limpide dans ta tête, et donc que tu n'as pas de preuve ou pas vérifié ta preuve soigneusement. L'objectif est de produire des preuves et d'être ainsi à la fin parfaitement sûr de soi. Sais tu montrer par exemple que ta fonction $b$ est strictement croissante ? Que la somme de deux fonctions de $\R$ dans $\R$ strictement croissante est strictement croissante ?
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Et aussi : tu dis que $\sqrt{x^2+1}>x$. Sais-tu le démontrer complètement ? Et en quoi cela démontrerait-il que la fonction est positive ?
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En effet. La fonction b est croissante car elle fait correspondre a un reel dans R le meme reel dans R. Une relation d'ordre strictement croissante.
Demontrer que la somme de deux fonctions dans R est strictement croissante je ne sais pas le demontrer mais ca me parait logique.
Si une fonction pour x1 < x2 donne deux images y1 < y2 et que c'est la meme chose pour la deuxieme fonction elles vont croitre toute les deux. Peut etre peut on dire que la somme de deux taux d'accroissement positif ne peux donner qu'un resultat positif donc que la fonction est croissante ? -
Je me suis mélangé les pinceaux, je pensais à la fonction $a$.
Mais on peut commencer par l'autre point. Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $\R$ dans $\R$. On suppose qu'elles sont strictement croissantes. Montrer que $f+g$ est strictement croissante. À toi de jouer, essayer de faire une preuve parfaite ! -
rac(x²+1) > x Pour tout x < ou = 0.
Si x<0 son signe devient positif par le fait qu'il est multiplie par lui meme dans la racine. Ensuite on lui ajoute 1 et on retrouve sa racine. Donc il ne peux qu'etre superieur a x meme si celui ci est negatif puisque x serait sa racine -1 et qui aurait garder son signe negatif si <0 -
Je commente en rouge :
Montrons que rac(x²+1) > x Pour tout x < ou = 0.
Si x<0 son signe devient positif [Tu veux dire $x^2$ est positif ?] par le fait qu'il est multiplie par lui meme dans la racine. Ensuite on lui ajoute 1 et on retrouve sa racineTu veux dire on prend la racine ?. Donc il ne peux qu'etre superieur a x meme si celui ci est negatif OK si $x$ est négatif mais qu'en est-il pour $x$ positif ?puisque x serait sa racine -1 pourquoi ?et qui aurait garder son signe negatif si <0 Cette dernière phrase n'est pas compréhensible. -
Merci pour ces commentaire je vais reecrire ca de maniere plus propre. Je reponds pour les fonctions:
Soient f et g deux fonctions dr R dans R.
(f(x1)-f(x2))/(x1-x2) >0 la fonction f est croissante.
de meme avec
(g(x1)-g(x2))/(x1-x2) >0 la fonction g est croissante.
ET comme (f(x1)-f(x2))/(x1-x2)+(g(x1)-g(x2))/(x1-x2) >0 donc f+g est croissante. -
Crois-tu qu'on obtient que le signe du résultat d'une division est positif que lorsqu'on a divisé deux nombres positifs?
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Non je me suis trompe et je corrige.
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Le problème du dernier message de bulot c'est plutôt qu'il n'aboutit pas à ce qu'il doit démontrer.
P.S. il y a encore quelque chose à corriger. -
Pour demontrer que f+g >0 le fait d'additionner comme j'ai fait plus haut ne le demontre pas ?
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Je commente ta démonstration que la somme de deux fonctions strictement croissantes est strictement croissante.
Soient f et g deux fonctions strictement croissantes de R dans R.
Pour tous réels distincts $x_1$ et $x_2$, on a (f(x1)-f(x2))/(x1-x2) >0 car la fonction f est strictement croissante.
de meme avec on a
(g(x1)-g(x2))/(x1-x2) >0 car la fonction g est strictement croissante.
et pourquoi pas En additionnant ces deux inégalités membre à membre, on obtient (f(x1)-f(x2))/(x1-x2)+(g(x1)-g(x2))/(x1-x2) >0
Soit $h=f+g$. On a donc pour tous réels distincts $x_1$ et $x_2$,
$$\frac{h(x_1)-h(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{f(x_1)+g(x_1)-f(x_2)-g(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}+\frac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}>0$$
donc $h$ est strictement croissante. -
Merci bcp ! Je reviendrai demain pour essayer de mieux repondre aux questions de Thierry plus haut. En esperant que j'y arriverai mieux...
Bonne soiree :-) -
Est-ce vraiment pédagogique d'introduire un quotient pour parler de la monotonie d'une fonction?
Est-ce qu'on peut diviser par $x_1-x_2$ quand $x_1,x_2$ ne sont soumis à aucunes conditions autre que de "vivre" dans l'ensemble de définition d'une fonction?
PS:
L'adjectif distinct passe vite à la trappe. B-)-
PS2:
Je ne suis pas fan de cette façon de faire. 8-) -
Ca me paraît un problème secondaire pour l'instant. Le plus important pour lui est de comprendre la différence entre un texte qui est une démonstration et un texte qui n'en est pas une.
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Il faudrait peut-être revenir à des exemples plus simples encore.
L'exercice posé initialement n'a rien d'évident.
PS:
Il y a encore du Bulot. X:-( -
Bonjour,
@JLT
J'ai trouver plus simple pour demontrer que rac(x²+1) > x, je ne sais pas si ce que je vais ecrire le demontre mais j'essaye :
Pour tout x dans R rac(x²+1) > x
En elevant au carre les deux cotes de l'inegalite on a :
[rac(x²+1)]² > x² => x²+1 > x²
On peut verifie que x²+1>x² quel que soit x dans R en prenant x=1 ou 0 par exemple ce qui montre que rac(x²+1) > x
Pour repondre a la question puisque x serait sa racine -1 pourquoi ?
Je voyai une sorte de symetrie entre rac(x²+1)>x² et x²>rac(x²-1). Mais je l'ai mal exprime.
@FDP Est-ce qu'on peut diviser par x1?x2 quand x1,x2 ne sont soumis à aucunes conditions autre que de "vivre" dans l'ensemble de définition d'une fonction?
C'est a dire ? -
Bulot a écrit:Pour tout x dans R rac(x²+1) > x
En elevant au carre les deux cotes de l'inegalite on a :
[rac(x²+1)]² > x² => x²+1 > x²
On peut verifie que x²+1>x² quel que soit x dans R en prenant x=1 ou 0 par exemple ce qui montre que rac(x²+1) > x
Toutes tes implications sont dans le mauvais sens. Tu devrais expliciter les choses pour t'en rendre compte. Je le fais un peu pour toi ici en reprenant ce que tu as écrit.Bulot corrigé et explicité a écrit:Soit $x$ un réel. Je suppose également $x$ positif. Je suppose $\sqrt{x^2+1}>x$. En élevant au carré l'inégalité précédente (c'est licite car $x$ est positif) on obtient $x^2+1>x$.
Autrement dit tu as montré : pour tout réel positif $x$, si $\sqrt{x^2+1}>x$ alors $x^2+1>x$. Même si tu parvenais à prouver ensuite que l'on a bien $x^2+1>x$ pour tout réel et même si on n'avait pas dû rajouter l'hypothèse $x$ positif, tu n'aurais pas montré ce que tu voulais. Tu ne peux pas démontrer A en commençant par supposer A. Il faut que tu réfléchisses calmement à cela.
Pour la fin tu ne peux pas vérifier "pour tout réel $x$, on a $x^2+1>x^2$" en testant pour $x=0$ et $x=1$. Ce n'est pas parce que c'est vrai pour $x=0$ et $x=1$ et que c'est vrai pour tout réel ! -
Merci pour ces precisions, j'ai une question concernant :
Soit x un réel. Je suppose également x positif. Je suppose rac(x²+1)>x². En élevant au carré l'inégalité précédente (c'est licite car x est positif) on obtient x²+1>x²
Ce ne serait pas possible d'elever au carre l'inegalite aussi si x<0? Puisqu'il est lui meme eleve au carre dans la racine donc >0, non ? -
On a $1>-2$. A-t-on $1^2>(-2)^2$ ?
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La règle que H utilise c'est que si $a>b$ et si $a$ et $b$ sont positifs, alors $a^2>b^2$. Cette règle est vraie, on peut l'appliquer.
Si tu veux appliquer une autre règle, il faut que tu expliques précisément quelle règle tu veux appliquer et on verra si elle est vraie ou non. -
Je ne vois pas quelle regle utiliser... Pourtant cela me semble logique (:P)
Si je disai que si x>0 => x²>0 Plutot A>0 => A²>0
Donc je soustrait x au membre de droite :
Ce qui donne rac(x²+1)-x >0 ,
Ensuite apres avoir eleve au carre le membre de gauche j'ai :
x²+1-x²>0
J'ai apres simplification de x²+1-x²>0 ; 1>0 ce qui verifie l'inegalite. Et aussi que x²+1>x² ? -
Qu'est-ce que tu es en train d'essayer de démontrer ?
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Que supposes-tu ? Que cherches-tu à montrer ? Quelles sont les hypothèses ? etc.
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Que pour tout x appartenant a R rac(x²+1) > x
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Tu cherches à montrer : pour tout réel $x$ on a $\sqrt{x^2+1} > x$.
D'où sort alors l'inégalité $\sqrt{x^2+1}-x >0$ au début de ton raisonnement ? Qui est $x$ ? Qu'as-tu supposé sur $x$ ? Ce sont toujours les mêmes questions... -
Et aussi : peux-tu me rappeler comment on élève au carré $a-b$ ?
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Que pour tout x appartenant a R rac(x²+1) > x
Supposons que A>0 => A²>0
En soustrayant des deux cotes x on obtient :
rac(x²+1)-x >0
Selon l'hypothese A>0 => A²>0 , en elevant au carre le membre de gauche on a :
x²+1-x²>0
Apres simplification de x²+1-x²>0 ; on obtient 1>0 ce qui verifie l'inegalite.
Et aussi que x²+1>x² ?
@JLT : a²-b²= (a-b)(a+b) ? -
Les messages se croisent un peu :-).
Tu cherches à montrer : pour tout réel $x$ on a $\sqrt{x^2+1} > x$.
Si j'ai bien suivi, pour montrer cela tu commences par considérer un réel $x$ et à supposer $\sqrt{x^2+1} > x$. C'est bien cela ? -
Oui, au depart je considere que x est un reel et que rac(x²+1) > x
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OK.
Que penses-tu de ce résultat.
Théorème. On a $0=1$.
Preuve. Je suppose $0=1$. On a donc $0=1$. Fin de la preuve.
C'est exactement le schéma de ta preuve. -
Je peux en faire une plus longue si tu le souhaites.
Théorème. On a $0=1$.
Preuve. Je suppose $0=1$. On a donc $10=11$ (en ajoutant $10$ aux deux membres de l'égalité). On a donc $100=121$ (en élevant au carré les deux membres de l'égalité). On a donc $0=21$ (en enlevant $100$ aux deux membres de l'égalité). On a donc $0=1$ (en divisant par $21$ les deux membres de l'égalité). Fin de la preuve. -
Je disai que je n'arrivai pas a demontrer ce que je pensai exact au niveau de l'inegalite.
Par contre je peux utiliser l'identite remarquable a²-b² et le fait que le nombre dans une racine soit toujours positif donc que si rac(a)>rac(b) => a>b.
Que pour tout x appartenant a R rac(x²+1) > x
En soustrayant des deux cotes x on obtient :
rac(x²+1)-x >0
En utilisant l'identite a²-b² et en elevant au carre les membres rac(x²+1) et x on a :
[rac(x²+1)]²-(x)²>0
On obtient x²+1>x², et comme rac(a)>rac(b) <=> a>b alors rac(x²+1) > x -
Tu vas toujours dans le mauvais sens. Si tu veux démonter que $\sqrt{x^2+1}>x$, tu ne peux pas partir de $\sqrt{x^2+1}>x$.
A la rigueur, tu peux essayer de faire comme ceci :
Soit $x$ un réel.
(1) On sait que $x^2+1>x^2$
(2)
(3)
...
(10) donc $\sqrt{x^2+1}>x$
mais pas dans l'autre sens ! -
On a toujours les mêmes problèmes.
Revenons à ma "preuve" de $0=1$. Où est l'erreur ? -
@JLT Est ce que montrer et demontrer sont la meme chose ? Dans ce cas peut etre que ce que j'ai ecrit le montre ?
Sinon par rapport au sens si j'ecrivai dans l'odre ou je percois l inegalite comme vrai ? A premiere vue je vois que x est des deux cotes de celle ci et que dans la racine x est eleve au carre et additione avec 1 donc superieur a x . En fait j'ai l'impression que je n'arrive pas a ecrire un raisonement ...
@H L erreur est peut etre de partir en pensant que c'est vrai ? -
Montrer et démontrer sont la même chose pour moi.
Pour démontrer "si A alors B", on part de A et on essaye d'arriver à B, comme dans le schéma que j'ai suggéré. -
Comme je suppose au début de ma preuve que 0=1 et que j'obtiens à la fin 0=1, je montre simplement la propriété suivante : si 0=1 alors 0=1. Mais comme 0 n'est pas égal à 1 (enfin, si c'est le cas ce n'est pas prouvé !) et bien je n'ai en fait rien prouvé du tout.
Tu commets exactement la même erreur : tu commences par supposer ce que tu souhaites montrer. Cela ne mène à rien.
Ce n'est pas limpide pour toi ? -
Je ne pense pas que ce soit limpide. Si je comprends bien: demontrer B c est partir de A pour verifier B c'est a dire A => B ?
Mais plein de A vrai peuvent verifier un B, quel sont les liens entre les deux qui caracterisent une demonstration ? -
J'avais oublie le B. Je voulais ecrire : Est ce que demontrer B c est partir de A pour verifier B c'est a dire A => B ?
Et comment choisir ce A ? -
Tu prends pour A un truc évident, par exemple
1>0
Puis tu écris des lignes soigneusement justifiés pour essayer d'arriver à B.
Exemple :
1>0
On ajoute $x^2$ aux deux membres, ce qui donne $x^2+1>x^2$
(...)
(...)
Donc B. -
D'accord, merci. Je vais essayer de le refaire de cette facon la. Je n'avais pas tout a fait compris le principe en fait.
Mais partir de B pour demontrer B est il possible ?
Car j'ai l'impression d'etre parti au niveau de ma reflexion de B mais tout en cherchant a trouver des A qui pouvaient justifier B. -
bulot a écrit:Est ce que demontrer B c est partir de A pour verifier B c'est a dire A => B ?
Et comment choisir ce A ?
Non. Démontrer B c'est... démontrer B.
A => B (que l'on lit "A implique B" ou "si A alors B") signifie : B ou (non A). On le montre en supposant A et en en déduisant B.bulot a écrit:Mais partir de B pour demontrer B est il possible ?
Non. Tu ne montres strictement rien en faisant cela.bulot a écrit:Car j'ai l'impression d'etre parti au niveau de ma reflexion de B mais tout en cherchant a trouver des A qui pouvaient justifier B...
Tu devais montrer A <=> B (autrement dit A=>B et B=>A) et tu as supposé A et puis un peu plus loin B. En bref tu as supposé A et B. Avec cela tu peux montrer ni A=>B ni B=>A.
J'ai du mal à expliquer tout cela, pour moi ce n'est pas une question de math, c'est de la logique de tous les jours.
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