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ideaux d'anneaux commutatifs, utilisations

Envoyé par enide 
ideaux d'anneaux commutatifs, utilisations
il y a cinq années
Bonjour,
je suis en train de préparer l'agrégation interne de mathématiques et, en particulier, la leçon "Idéaux d'un anneau commutatif", Mais je peine à trouver un fil directeur à ma leçon car je ne comprends pas bien l'utilité de cette notion. En particulier, pourquoi avoir inventé la structure d'idéal? Qu'est ce que ça a apporté aux Mathématiques? Pour quels grands résultats a t'on besoin de la structure d'idéal? Qui a inventé cette notion?...
Merci beaucoup pour vos réponses.
Re: ideaux d'anneaux commutatifs, utilisations
il y a cinq années
Pour le théorème chinois dans un anneau autre que $\mathbb{Z}$ par exemple, la notion de divisibilité

L'étude des anneaux de polynômes et des séries formelles

La géométrie algébrique (mais là, on est hors-programme de l'agrégation interne au moins)
Re: ideaux d'anneaux commutatifs, utilisations
il y a cinq années
et il me semble que l'inventeur des idéaux est Kummer
Re: ideaux d'anneaux commutatifs, utilisations
il y a cinq années
avatar
La notion d'idéal (premier) a été inventée par Kummer pour démontrer le théorème de Fermat dans le cas d'un nombre premier régulier.

Cette notion intervient partout: anneaux quotients, géométrie algébrique, théorie algébrique des nombres (groupe des classes d'idéaux...)

Greg

Ora, lege, lege, relege, labora et invenies (Prie, lis, lis , relis, travaille et tu trouveras)
Pour compléter le propos de Greg (s'il me le permets...).

Les "nombres idéaux", ainsi nommés par Kummer, ont été chargés de suppléer aux entiers relatifs classiques pour restaurer l'unicité de la factorisation en éléments irréductibles perdue dans certains anneaux (commutatifs) coriaces, qui n'avaient pas le bon goût d'être factoriels.

Par exemple, dans $\mathbb{Z} [\sqrt{-5}]$, on peut facilement vérifier que $3$, $7$, $1 + 2 \sqrt{-5}$ et $1 - 2 \sqrt{-5}$ sont irréductibles, mais
$$21 = 3 \times 7 = \left( 1 + 2 \sqrt{-5} \right) \left( 1 - 2 \sqrt{-5} \right).$$
Comme le souligne Greg ci-dessus, ce fut l'erreur que l'on a détecté dans la démonstration du GTF par Lamé qui a tout déclenché : le $1$er mars 1847, Lamé annonçait à l'Académie des Sciences avoir démontré le Grand Théorème de Fermat (GTF), qui stipule que l'équation diophantienne $x^n + y^n = z^n$ n'a pas de solution non triviale en entiers $x,y,z$ dès que $n \geqslant 3$. Pour ce faire, il avait utilisé la factorisation de $x^n + y^n$ dans l'anneau $\mathbb{\Z} [\zeta_n]$ des entiers algébriques du corps cyclotomique $\mathbb{\Q} (\zeta_n)$, où $\zeta_n$ désigne une racine primitive $n$-ème de l'unité (c'était la démarche classique à l'époque). Mais, Liouville a repéré que l'argument de Lamé utilisait de manière essentielle le fait que $\mathbb{\Z} [\zeta_n]$ devait être factoriel, et, le 28 avril 1847, Kummer a démontré que cette assertion était fausse en général. Un peu plus tard, Cauchy a montré que le $1$er contre-exemple apparaissait avec $n=23$.

Cette histoire, très connue en théorie algébrique des nombres, a fortement marqué Kummer, qui, dans la foulée, a donc créé les idéaux pour retrouver la bonne vieille unicité de la factorisation en irréductibles.
Re: ideaux d'anneaux commutatifs, utilisations
il y a cinq années
avatar
D'ailleurs Kummer parlait de ideale Teiler (diviseurs idéaux).
Citation

Mais je peine à trouver un fil directeur à ma leçon car je ne comprends pas bien l'utilité de cette notion.

Tu as sans doute croisé la notion de polynome minimal d'un endormorphisme par exemple. L'ensemble des polynomes qui annulent un endomorphisme est un idéal de $\R[X]$. S'il est non nul il est de la forme $P.\R[X]$ où $P$ est un polynome minimal. C'est la structure des idéaux de $\R[X]$ qui donne ce dernier résultat, que tu connais peut-être sous la forme : si un polynome annule un endomorphisme alors c'est un multiplie d'un certain polynome minimal.

Tu as sans doute rencontré d'autres utilisations. Tu trouveras ou retrouveras tout cela en bouquinant, je pense que ta question est trop vaste pour pouvoir être traitée ainsi sur un forum.
Un idéal est le noyau d'un morphisme d'anneau donc déjà, ce n'est que donner un nom à des choses importantes en algèbre. Par ailleurs, le fait que les anneaux commutatifs unitaires ont un "1", cela fait que tout idéal propre est inclus un idéal maximal à ne pas contenir 1 et ça c'est une truc vraiment puissant. Par exemple, sur le principe, il serait difficile de prouver le théorème des zéros (dans sa version générale, ie les systèmes d'équations pas forcément finis où le corps a un cardibnal suffisamment grand) sans cette puissance, ou même dans sa version restreinte aux systèmes finis pour les gens qui veulent comprendre l'idée sans passer par une usine à gaz calculatoire assez sévère.

Les idéaux premiers, les idéaux maximaux, etc, sont des outils tout de même fructueux dans pas mal de circonstances. Je n'ai pas le temps d'en poster plus long, mais j'ai l'impression que foisonnent les exemples de leur fructuosité, que plein d'intervenants te signaleront peut-être. Rien que la logique, même elle, y est sensible (un modèle est un idéal premier qui contient la théorie "désirée" comme sous-ensemble dans un anneau de Boole)
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