ideaux d'anneaux commutatifs, utilisations

et il me semble que l'inventeur des idéaux est Kummer

Pour compléter le propos de Greg (s'il me le permets...).

Les "nombres idéaux", ainsi nommés par Kummer, ont été chargés de suppléer aux entiers relatifs classiques pour restaurer l'unicité de la factorisation en éléments irréductibles perdue dans certains anneaux (commutatifs) coriaces, qui n'avaient pas le bon goût d'être factoriels.

Par exemple, dans $\mathbb{Z} [\sqrt{-5}]$, on peut facilement vérifier que $3$, $7$, $1 + 2 \sqrt{-5}$ et $1 - 2 \sqrt{-5}$ sont irréductibles, mais
$$21 = 3 \times 7 = \left( 1 + 2 \sqrt{-5} \right) \left( 1 - 2 \sqrt{-5} \right).$$
Comme le souligne Greg ci-dessus, ce fut l'erreur que l'on a détecté dans la démonstration du GTF par Lamé qui a tout déclenché : le $1$er mars 1847, Lamé annonçait à l'Académie des Sciences avoir démontré le Grand Théorème de Fermat (GTF), qui stipule que l'équation diophantienne $x^n + y^n = z^n$ n'a pas de solution non triviale en entiers $x,y,z$ dès que $n \geqslant 3$. Pour ce faire, il avait utilisé la factorisation de $x^n + y^n$ dans l'anneau $\mathbb{\Z} [\zeta_n]$ des entiers algébriques du corps cyclotomique $\mathbb{\Q} (\zeta_n)$, où $\zeta_n$ désigne une racine primitive $n$-ème de l'unité (c'était la démarche classique à l'époque). Mais, Liouville a repéré que l'argument de Lamé utilisait de manière essentielle le fait que $\mathbb{\Z} [\zeta_n]$ devait être factoriel, et, le 28 avril 1847, Kummer a démontré que cette assertion était fausse en général. Un peu plus tard, Cauchy a montré que le $1$er contre-exemple apparaissait avec $n=23$.

Cette histoire, très connue en théorie algébrique des nombres, a fortement marqué Kummer, qui, dans la foulée, a donc créé les idéaux pour retrouver la bonne vieille unicité de la factorisation en irréductibles.

Mais je peine à trouver un fil directeur à ma leçon car je ne comprends pas bien l'utilité de cette notion.

Tu as sans doute croisé la notion de polynome minimal d'un endormorphisme par exemple. L'ensemble des polynomes qui annulent un endomorphisme est un idéal de $\R[X]$. S'il est non nul il est de la forme $P.\R[X]$ où $P$ est un polynome minimal. C'est la structure des idéaux de $\R[X]$ qui donne ce dernier résultat, que tu connais peut-être sous la forme : si un polynome annule un endomorphisme alors c'est un multiplie d'un certain polynome minimal.

Tu as sans doute rencontré d'autres utilisations. Tu trouveras ou retrouveras tout cela en bouquinant, je pense que ta question est trop vaste pour pouvoir être traitée ainsi sur un forum.