Renseignement concernant les opérations
Bonjour à tous,
Une expression qui ne comporte que des additions ou si l'expression ne comporte que des multiplications, on peut faire les calculs deux à deux ou faire des regroupements et effectuer dans n'importe quel ordre.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi cela n'est pas possible pour une expression ne comportant que des soustractions ou que des divisions ?
Cela a-t-il un lien avec la commutativité de ces deux opérations ?
Merci pour vos détails,
A.
Une expression qui ne comporte que des additions ou si l'expression ne comporte que des multiplications, on peut faire les calculs deux à deux ou faire des regroupements et effectuer dans n'importe quel ordre.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi cela n'est pas possible pour une expression ne comportant que des soustractions ou que des divisions ?
Cela a-t-il un lien avec la commutativité de ces deux opérations ?
Merci pour vos détails,
A.
Réponses
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Bonjour Arturo,
Effectivement, ça met en jeu la commutativité et aussi l'associativité de l'addition ou de la multiplication.
Leurs opérations inverses, respectivement la soustraction et la division, ne possèdent pas ces propriétés bien commodes, c'est pourquoi l'ordre des opérations est alors imposé,
On peut cependant opérer à des regroupements pratiques dans les sommes algébriques si l'on déplace les termes avec le signe qui les précède puisque soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. -
Pour la question des regroupements, il s'agit de la propriété d'associativité, qui est indépendante de la commutativité (qui concerne l'ordre) au sens où :
- il y a des opérations associatives et commutatives ;
- il y a des opérations associatives mais pas commutatives ;
- il y a des opérations commutatives mais pas associatives ;
- il y a des opérations ni commutatives ni associatives.
La soustraction n'est pas associative car par exemple $(3 - 2) - 1 \neq 3 - (2 - 1)$.
La division n'est pas associative car par exemple $(1\, /\, 2)\, /\, 3 \neq 1 \,/\, (2 \,/\, 3)$. -
D'accord et merci.
Donc en fait, si on effectue une soustraction ou une division à deux termes, c'est un problème de commutativité.
A plus de deux strictement, c'est un problème d'associativité, c'est ça ? -
Par définition les opérations (lois de composition ) donnent la le composé de deux éléments
Lorsqu'on écrit une expression telle que 27 + 5 + 17 + 95 + 73 + 83, cette écriture signifie, stricto sesu ((((((27+5)+17)+95)+73)+83)
Mais l'assocciativité permet de modifier l'ordre de priorité des opérations
Mais si tu étudies en détail ce que tu fais pour amener le 73 à côté du 27, tu te rendras compte que tu utilises la commutativité et l'associativité... -
Bonjour,
Jai eu un problème d'internet ce qui fait que je reviens vers vous un peu tard.
Quelque chose me chagrine concernant la soustraction :
Dans le calcul suivant : 105 - 6 - 7 - 12, on peut effectuer les calculs deux à deux :
105 - 6 = 99
et - 7 - 12 = - 19
donc 105 - 6 - 7 - 12 = 80
Et ca marche.
Alors pourquoi dit-on aux élèves de 5ème qui découvrent les priorités opératoires que cela n'est valable que pour l'addition et la multiplication ?
Cela a-t-il un rapport avec le calcul (105 - 6) - (7 - 12) ?
Y'a -t-il confusion de ma part avec le "-" qui dans mon premier exemple est le signe négatif d'un nombre (relatif) et dans le deuxième une soustraction ?
Pourriez-vous m'en dire plus afin de m'éclaircir svp ?
Merci,
A. -
Tu n'as pas calculé 7-12 d'abord, c'est pour ça que ça marche, tu as transformé les soustractions en additions.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
La soustraction n'est pas commutative : $4-3 \neq 3-4$.
La soustraction n'est pas associative : $4-(5-3) \neq (4-5)-3$.
Ce que l'on apprend au collège (et qui est déjà intuitif pour les meilleurs) c'est qu'il faut voir la soustraction comme l'ajout de l'opposé. À partir de là, il n'y a plus que des sommes et tout est commutatif et associatif. Tu noteras que tu n'as pas calculé $7-12$ mais $-7-12$ : tu as accolé le signe "moins" avec le nombre $7$. La formalisation mathématique de tout cela est ce que j'ai dit plus haut : on ne voit que des sommes mais certains termes sont négatifs. On passait du temps à mon époque en sixième à écrire des choses comme 4-3+8=(+4)+(-3)+(+8)=... Petit à petit on enlevait les parenthèse et on omettait certains signes.
Comme je trouvais ça intuitif à l'époque (le signe "moins" reste collé au nombre) je n'avais pas compris à l'époque l'intérêt de la manipulation (je calculais déjà tout ça sans me tromper). Je n'ai compris ce qu'il y avait derrière qu'en prépa... C'est peut-être également ton cas. -
Désolé, je n'avais pas vu que tout cela avait déjà été dit.
-
Arturo,
si tu considères que le -7-12 est en fait +(-7-12)=+((-7)+(-12)) comme on le fait faire aux élèves, tu n'utilises jamais l'associativité pour -, seulement pour +.
D'ailleurs, tant qu'on ne met pas de parenthèses, il est illusoire de parler d'associativité. Dans ton calcul, tu as utilisé le - du -7, où mets-tu la prenthèse ?
Cordialement.
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