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Polynôme complexe à valeurs réelles

Envoyé par fanf 
Polynôme complexe à valeurs réelles
il y a six années
Bonjour,

On se donne un polynôme tel que $P(z)\in\R$ pour tout $z\in\C$. Je dois montrer que $P$ est constant.

On remarque tout d'abord que $P$ a ses coefficients réels.
En écrivant $P(X)=\sum_{k=0}^na_kX^k$, on a pour tout $x\in\R$, $\overline{P(x)}=\sum_{k=0}^n\overline{a_k}x^k$. Mais cette dernière expression est égale à $P(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k$ car $P(x)\in\R$. Donc $a_k=\overline{a_k}$ pour tout $k\in[\![0,n]\!]$.

Donc $P$ a tous ses coefficients réels.

Comment montrer que $P$ est constant ?

Merci pour votre aide.
JLT
Re: Polynôme complexe à valeurs réelles
il y a six années
avatar
Pour tout $\theta\in\R$ fixé, $x\mapsto P(xe^{i\theta})$ est à coefficients réels par le même raisonnement...
Re: Polynôme complexe à valeurs réelles
il y a six années
Tu peux aussi essayer de passer par le théorème de d'Alembert Gauss (tout polynôme non constant est scindé dans $\mathbb{C}$.
JLT
Re: Polynôme complexe à valeurs réelles
il y a six années
avatar
Plus rapide : raisonner par récurrence sur le degré en dérivant.
Re: Polynôme complexe à valeurs réelles
il y a six années
@JLT : Merci. Soit $\theta\in\R$. On écrit $\R\ni P(xe^{i\theta})=\sum_{k=0}^na_ke^{ik\theta}x^k=\sum_{k=0}^na_ke^{-ik\theta}x^k$.
On en déduit que pour tout $k\in[\![0,n]\!]$, $a_ke^{ik\theta}=a_ke^{-ik\theta}$ et il suit $ia_k\sin(k\theta)=-ia_k\sin(k\theta)$ i.e. $a_k\sin(k\theta)=0$.

Si $k\ne0$, on peut poser $\theta=\frac{\pi}{2k}$ et on trouve immédiatement $a_k=0$ pour tout $k\in[\![1,n]\!]$. Ainsi $P=a_0$ est constant.
Re: Polynôme complexe à valeurs réelles
il y a six années
Par récurrence, je vais devoir dériver suivant la variable complexe ? C'est plus élémentaire avec l'autre méthode, non ?
JLT
Re: Polynôme complexe à valeurs réelles
il y a six années
avatar
En fait la récurrence ne marche pas. Un raisonnement par dérivation :

En tout point, la différentielle de $P$ est une forme $\C$-linéaire, donc elle est soit nulle soit bijective. De plus, elle est à valeurs dans $\R$, donc $P'(z)=0$ pour tout $z$.
Re: Polynôme complexe à valeurs réelles
il y a six années
Joli raisonnement.
Re: Polynôme complexe à valeurs réelles
il y a six années
avatar
Il y a plus simple : si le polynôme est de degré$ >1$ on le décompose en son monôme dominant (de degré $n$) et le reste, qui est négligeable en l'infini.
On l'évalue en $\alpha=\rho e^{i\frac{\pi}{2n}}$ pour que le monôme dominant soit imaginaire pur.

On écrit que $P(\alpha)=a_ni\rho^n+o(\rho^n).$
Pour $\rho$ suffisamment grand, le petit $o$ est $<\frac{1}{3}|a_n\rho^n|$ en module (*) et donc la partie imaginaire de $P(\alpha)$ vaut au moins (en valeur absolue) $\frac{2}{3}|a_n\rho^n|$ donc est non nulle.


(*) par exemple, n'importe quel autre constante $<1$ marche, on n'est pas obligé de choisir $\frac{1}{3}$
@JLT
J'ai un petit souci avec ta preuve, si tu considères la différentielle D(P(z)) = P'(z) dz, elle n'est pas a priori à valeurs réelles.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
vincent83
Re: Polynôme complexe à valeurs réelles
il y a six années
Un polynôme non constant est surjectif (de C dans C)...
JLT
Re: Polynôme complexe à valeurs réelles
il y a six années
avatar
Par hypothèse, $P$ est à valeurs réelles. On a pour tout $z\in\C$, $h\in \C$ et $t\in \R^*$ :
$$\dfrac{P(z+th)-P(z)}{t}\in \R.$$

En faisant $t\to 0$ on en déduit $(dP)_z(h)\in\R$.

@vincent83 : effectivement c'est plus simple comme ça...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par JLT.
Re: Polynôme complexe à valeurs réelles
il y a six années
avatar
Etant donné un polynôme $P$ non constant, on peut construire explicitement un $\alpha$ tel que $P(\alpha)\notin\mathbb{R}$, ce qui résout l'exercice.
Il suffit de choisir un $\alpha$ suffisamment grand pour que $P(\alpha)$ soit "à peu près" égal à son monôme dominant, et ensuite on choisit l'argument pour ne pas tomber dans $\mathbb{R}$.

On a besoin juste du calcul de base sur les complexes, pas besoin de d'Alembert-Gauss ni de différentielle.
JLT
Re: Polynôme complexe à valeurs réelles
il y a six années
avatar
Une petite généralisation : soit $f:U\to \C$ une fonction holomorphe non constante d'un ouvert de $\C$ vers $\C$. Alors l'image de tout ouvert par $f$ est un ouvert.
Re: Polynôme complexe à valeurs réelles
il y a cinq années
Supposons $P$ non constant et considérons le polynôme $Q=P-i$.

$Q$ est non constant, donc d'après le théorème de d'Alembert-Gauss, il existe $\alpha \in \mathbb{C}$ tel que $Q(\alpha)=0$.

Nous avons donc : $\exists \alpha \in \mathbb{C}, P(\alpha)=i \not \in \mathbb{R}$.

Contradiction. Donc $P$ est constant.
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