Ensembles et application

Prépapc
Prépapc
dans Algèbre
Bonjour,
je dois faire l'exercice suivant:
" On note ~ la relation définie sur Z par x~y <=> x et y ont même parité.
Pour x dans Z, on note cl(x) la classe d'équivalence de x et on pose
Pour tout (x,y) dans ZxZ ,cl(x) + cl(y) = cl(x+y) et cl(x) x cl(y) = cl(x * y)
on note Z/2Z l'ensemble des classes d'équivalence pour ~.
Soit P l'application de {vrai,faux} dans Z/2Z définie par P(vrai) = cl(1) et P(faux) = cl(0)
Soient enfin A et B deux assertions.
comparer P(A ou B) et max(P(A),P(B)). "

Je ne comprends pas le sens de max(P(A),P(B)) car cl(1) et cl(0) sont tous deux des ensembles infinis. Comment est défini le maximum entre des ensembles ?

Merci de votre aide

Réponses

  • ev
    ev
    Ton ensemble $(\Z/2\Z)$ est fini, lui.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Professeur Rectangle
    Professeur Rectangle
    Ne manquerait-il pas un morceau de l'énoncé ?

    A un moment ou à un autre, il faut définir une relation d'ordre sur $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

    Il faut "choisir" qui de $cl(0)$ ou de $cl(1)$ est le plus grand. J'imagine que le choix qui est fait est de décider que $cl(1)$ est plus grand que $cl(0)$ (c'est ce qu'on fait habituellement). Mais on aurait très bien pu choisir le contraire : l'ordre sur $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ne provient pas de l'ordre sur sur $\mathbb{Z}$ : on aurait pu choisir que $cl(2)$ est plus grand que $cl(1)$.
  • Professeur Rectangle
    Professeur Rectangle
    Si vous êtes en prépa PC, la notion de classes d'équivalences est hors programme, ainsi que la notion d'ensemble quotient (comme $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$), ainsi que la notion de relation d'ordre.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Pour tout (x,y) dans ZxZ ,cl(x) + cl(y) = cl(x+y) et cl(x) x cl(y) = cl(x * y) a écrit:

    Soit l'énoncé est incomplet, soit l'énoncé est imbécile. :-D

    J'imagine qu'il faut comprendre P(vrai)=1, P(faux)=0 (énoncé de m...)
  • Professeur Rectangle
    Professeur Rectangle
    @FinDePartie : Ni $1$ ni $0$ n'appartiennent à $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ selon la définition choisie par l'énoncé. Dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ on n'a que les classes d'équivalence de $1$^et de $0$, et on est bien embêté pour les ordonner.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Bonsoir,

    Posons $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}=\left\{\overline{0},\,\overline{1}\right\}$. Soit $\leqslant$ la relation binaire sur $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$ définie par
    \[
    x\leqslant y\Leftrightarrow x.y=x
    \]pour tous $x$, $y$ de $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$. Est-ce un ordre sur le corps $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$ ?

    Cordialement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Non. On n'a pas $a\leq b \Rightarrow a+c\leq b+c$.
  • Professeur Rectangle
    Professeur Rectangle
    Tout corps ordonnable, c'est-à-dire qui peut être muni d'un relation d'ordre compatible avec les opérations de corps, est de caractéristique zéro.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Bonsoir GaBuZoMeu,

    Tu as raison ; la loi interne $+$ sur $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$ n'est pas compatible avec la relation binaire $\leqslant$ sur $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$. Cependant, pour tout $c\in\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$, il est clair que $c.c=c$, de sorte que, si $a$, $b$ appartiennent à $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$ tels que $a\leqslant b$, alors, $a.c=a.b.c=a.b.c.c=a.c.b.c$, d'où $a.c\leqslant b.c$.

    Bonne nuit !

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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