Et si pi devenait rationnel ?
Bonjour,
Ci dessous je partage mes idées avec vous au sujet d'une réflexion au sujet des nombres irrationnels :
Si l'on imagine la droite réelle comme étant dotée de graduations (i.e les rationnels), à la manière d'un règle infiniment précise, alors les nombres irrationnels ne tombent jamais sur une des graduations.
Maintenant, si l'on déplace une graduation pour la placer sur pi, on obtient une nouvelle base dans laquelle pi sera rationnel.
(Par exemple, on considère que l'ensemble des nombres entiers est $\pi\mathbb{N}$, et alors $\pi \equiv 1$)
Existe-t-il une base dans laquelle les nombres irrationnels les plus fameux (pi, e, racine de 2, à définir) sont rationnels ?
Cela aurait-il un intérêt ?
Edit :
Bon, s'il s'agit juste d'une homotétie de la droite réelle pour que $\pi \equiv 1$, alors il me semble que cela n'a pas vraiment d'intérêt car l'aire d'un cercle de rayon 1 sera toujours irrationnelle dans ce nouveau système.
Est-il possible d'obtenir un système de numération dans lequel l'aire d'un cercle de rayon 1 soit rationnelle ?
Ci dessous je partage mes idées avec vous au sujet d'une réflexion au sujet des nombres irrationnels :
Si l'on imagine la droite réelle comme étant dotée de graduations (i.e les rationnels), à la manière d'un règle infiniment précise, alors les nombres irrationnels ne tombent jamais sur une des graduations.
Maintenant, si l'on déplace une graduation pour la placer sur pi, on obtient une nouvelle base dans laquelle pi sera rationnel.
(Par exemple, on considère que l'ensemble des nombres entiers est $\pi\mathbb{N}$, et alors $\pi \equiv 1$)
Existe-t-il une base dans laquelle les nombres irrationnels les plus fameux (pi, e, racine de 2, à définir) sont rationnels ?
Cela aurait-il un intérêt ?
Edit :
Bon, s'il s'agit juste d'une homotétie de la droite réelle pour que $\pi \equiv 1$, alors il me semble que cela n'a pas vraiment d'intérêt car l'aire d'un cercle de rayon 1 sera toujours irrationnelle dans ce nouveau système.
Est-il possible d'obtenir un système de numération dans lequel l'aire d'un cercle de rayon 1 soit rationnelle ?
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Réponses
Si tu considères une graduation qui distingue tous les nombres de la forme $\dfrac{p}{q}\sqrt{2}$ avec $p,q$ des entiers relatifs et $q$ non nul, c'est en partie faux ton affirmation.
C'est quoi une graduation?
Est-ce juste distinguer un nombre dénombrable de nombres réels?
Mais ils forment également un corps, et en particulier le quotient de deux rationnels (avec un dénominateur non nul, bien sûr) est encore un rationnel.
Si tu réalises une homothétie d'un rapport quelconque... le quotient de deux images sera la même que le quotient des antécédents... et donc, si tu changes la définition des rationnels, tu perds cette propriété fondamentale d'être un corps.
En plus, les rationnels portent en leur nom cette caractéristique ("ratio") : cela aurait dû te mettre la puce à l'oreille.
On pourrait cocher le premier trait à une distance de $\sqrt{2}$ milimètres de l'origine marquée sur la règle*.
Mais même en faisant comme ça on n'arriverait pas à "attraper" tous les irrationnels (voir le message précédent).
*: la quadrature du cercle n'est plus impossible si on ne suppose plus que la règle ne comporte aucune graduation. B-)-
le nombre $\pi$ sert de base pour les mesures des angles puisque en trigonométrie les angles usuels
(angle plat, angle droit, demi-angle droit, tiers d'angle droit sont mesurés en radians avec $\pi$ ou des sous-multiples de $\pi$
donc oui, $\pi$ sert dans certains circonstances d'unité de mesure ; et cet usage est tout-à-fait justifié
de là en en faire un nombre rationnel .... pour quel intérêt scientifique ou pratique ?
d'autre part les autres constantes importantes $e$, $ln2$ ou $\sqrt{2}$ seront toujours irrationnelles entre elles et avec $\pi$
ta suggestion rappelle celle évoquée récemment ici-même à propos de $\gamma$ la constante d'Euler
dont la présence en mathématiques est il est vrai moins importante que le nombre d'Archimède
(un intervenant évoquait la possibilité d'en faire une base de logarithmes)
les constantes mathématiques bénéficient d'un statut et font l'objet d'études particulières suivant leur importance scientifique
l'irrationalité de $\pi$ par exemple méritait d'être démontrée (les recherches ont duré 20 siècles)
mais on ne peut pas se passer des nombres les plus simples et les plus courants
(les chiffres de la numération décimale sans oublier le zéro)
sinon les mathématiques vont finir par s'évaporer dans l'éther et les mathématiciens par être proscrits par le reste de la population...
cordialement
C'est une prophétie qui pourrait se réaliser vu l'usage qu'on fait du nombre.
Les mathématiciens, au sens large, sont peut-être plus dangereux que les politiciens. B-)-