La beauté des mathématiques

C'est l'unité profonde des mathématiques, qui fait se rejoindre des domaines apparemment étrangers a priori (algèbre, géométrie...), ce qui a conduit certains à parler de la mathématique.

Cela dépend de mon humeur. En ce moment je trouve beau les invariants en mathématiques et plus particulièrement en analyse comme celui-ci du à Gauss:
$$I(a,b)=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{a^{2}\cos(\theta)^{2}+b^{2}\sin(\theta)^{2}}}=I\left(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}\right)$$

bonjour

le professeur Dieudonné (décédé en 1992) disait que "les mathématiques doivent être belles sinon elles ne sont pas recevables"
(je cite de mémoire)
et oui nous autres mâles (comme bien-sûr les dames) nous sommes sensibles à la beauté
a fortiori lorsque l'auteur des propositions mathématiques est une jolie femme
(Hypathie la mathématicienne grecque d'Alexandrie qui finit tragiquement en était une
si l'on en croît le peintre anglais qui en fit des portraits très touchants 15 siècles après sa mort)

la beauté est un élément important pour l'enseignant du collège
lorsqu'il veut susciter l'intérêt de ses élèves pour notre discipline
et la géométrie du collège l'aide dans ce sens là incontestablement

et dans la vocation des étudiants en math la beauté de la discipline rentre en ligne de compte
(ce qui expliquerait d'après certains psychanalystes la prépondérance des garçons parmi ces étudiants...)
cette beauté sauvage et rebelle des math fascine également les élèves littéraires
qui vont s'intéresser à son histoire peut-être plus que les matheux eux-mêmes

- la beauté des math réside d'abord dans l'esthétique des figures géométriques
comme par exemple celle des coniques (ellipse, parabole et hyperbole)
ou celle des 6 polyèdres de l'espace $R^3$
Platon qui les avait étudiés complètement était sûrement admiratifs devant leur harmonie
ici même sur le "forum géométrie" où la convivialité est de mise entre intervenants
nous avons droit, grâce aux miracles des logiciels à des formes très belles surtout lorsqu'elles sont animées !
les courbes représentatives de fonctions à coordonnées paramétrées sont souvent très jolies

- la beauté des math réside également dans la simplicité des formules homogènes, ordonnancées et équilibrées
comme c'est le cas souvent des relations trigonométriques
ou les formules d'Euler en sinus et cosinus
ou les formules de Newton concernant les polynômes
ou encore les différentes présentations du produit scalaire de deux vecteurs dans le plan

- la beauté des math réside aussi dans les raisonnements
par exemple les formules de réciprocité dans les programmes linéaires (équations et inéquations)
ou le théorème du rang en algèbre linéaire

- la beauté des math réside enfin dans la synthèse réalisée dans les tableaux synoptiques
par exemple le tableau des angles remarquables diviseurs de $\pi$ présents dans les polygones réguliers inscrits dans le cercle
ou encore le tableau concernant les 6 polytopes réguliers (figures de l'espace $R^4$)
avec les relations simples entre le nombre et la nature des sommets, des arêtes, des diagonales, des faces, des cellules $R^3$

cette beauté synthétique et synoptique n'est pas propre aux math. puisqu'on la rencontre dans d'autres sciences
par exemple en chimie avec le tableau de Mendéléiev sur les composants atomiques

cordialement

Bonjour,

Breyer a écrit:

Cela dépend de mon humeur. En ce moment je trouve beau les invariants en mathématiques et plus particulièrement en analyse comme celui-ci du à Gauss:
$$I(a,b)=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{a^{2 }\cos(\theta)^{2}+b^{2}\sin(\theta)^{2}}}=I\left(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}\right)$$

On peut voir : $ \dfrac{a+b}{2} $ comme la moyenne arithmétique de $ a $ et $ b $, et $ \sqrt{ab} $ comme la moyenne géométrique de $ a $ et $ b $.
En bref, si on pose : $ f : (a,b) \to \Big( \dfrac{a+b}{2} , \sqrt{ab} \Big) $, alors : $ I \circ f = I $, d'où : $ I $ préserve une structure géométrique ( à étudier ), définie par $ f $ ( i.e : Symétrie ou Invariance par $ f $ ).
:-)

Pablo:


Avec ta définition formelle de $f$,

$(a,b)\rightarrow (\dfrac{a+b}{2},\sqrt{ab})$

On a:

$f \Big( \alpha a_0 + \beta a_1 , \alpha b_0 + \beta b_1 \Big)=\left(\dfrac{\alpha a_0 + \beta a_1+\alpha b_0 + \beta b_1}{2},\sqrt{\left( \alpha a_0 + \beta a_1\right)\left( \alpha b_0 + \beta b_1\right)}\right)$

la deuxième composante n'a rien de linéaire et, en outre, on ne sait pas définir $\sqrt{\left( \alpha a_0 + \beta a_1\right)\left( \alpha b_0 + \beta b_1\right)}$ pour tous $\alpha,a_0,b_0,\beta,a_1,b_1$ réels.

Pablo:

C'est toi qui a défini:

$(a,b)\rightarrow (\dfrac{a+b}{2},\sqrt{ab})$

$f((a,b)+(c,d))=f\Big((a+c,b+d)\Big)=\left(\dfrac{1}{2}(a+c+b+d), \sqrt{(a+c)(b+d)}\right)$

et à ma connaissance, $\sqrt{(a+c)(b+d)}$ est rarement égal à $\sqrt{ab}+\sqrt{cd}=f((a,b))+f((c,d))$

PS:
Cette égalité,

$ f \Big( \alpha a_0 + \beta a_1 , \alpha b_0 + \beta b_1 \Big) = \Big( \dfrac{1}{2} ( \alpha a_0 + \beta a_1 + \alpha b_0 + \beta b_0 ) , \sqrt{ a_{0}^\alpha a_{1}^\beta b_{0}^{\alpha} b_{1}^{\beta} } \Big)$

est FAUSSE, compte tenu de la définition de $f$ que tu te donnes.

PS2:

Application $\mathbb{R}$-linéaire (formellement)

$F(au+bv)=aF(u)+bF(v)$ , a,b réels

Et il me semble clair que l'application que tu te donnes n'est pas linéaire et ne peut même pas être définie pour tout couple (x,y) de réels.

FdP :

On pose : $ f : (a,b) \to \sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b} $.
Alors : $ f((a,b)+(c,d)) = f(a+c,b+d) = \sqrt{ac} \sqrt{bd} = \sqrt{ab} \sqrt{cd} = f(a,b) f(c,d) $
Il y'a juste une idée intruse que je n'arrive pas la bien placer dans l'expression pour que ça tient la route :
$ g(a) = f(a,0) = \sqrt{a.1} = \sqrt{a} $ et donc : $ g(a) = \sqrt{a} $ implique que : $ g(a+b) = \sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b} = g(a) g(b) $ ... :-D
Pour faire court, je dirai que $ f $ transforme toute la structure additive de l'espace de départ en structure multiplicative de l'espace d'arrivée, meme les lois de composition internes. :-)

Les maths sont belles parce qu'elles sont infinies, mystérieuses, parce qu'elles sont la raison, pas de chichi ça tombe toujours juste, elles sont parfaites, ne vous trahissent jamais. Les maths sont belles car divines