Joyeux Noël

Poirot
Poirot
dans Vie du Forum et de ses membres
Je profite de quelques minutes de répit pour souhaiter à tous les membres du forum un Joyeux Noël !

Réponses

  • Sylvain
    Sylvain
    Joyeux Noël à tous !
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Joyeux Noël à tous les membres du forum !
  • noix de totos
    noix de totos
    Si ma mémoire est bonne, c'est effectivement une tradition de ce forum de souhaiter un joyeux Noël à tous.

    Merci à Poirot de perpétuer cette tradition.

    En guise de cadeau de Noël, un petit exo sympa pour ceux qui n'ont pas les idées trop embrumées :

    Soit $k \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$ fixé. À tout entier $n \in \left [ 6,6k \right]$, on associe l'entier $n^2+2$ et on note $\pi(k)$ le nombre de nombres premiers de cette suite. Montrer, sans utiliser les inégalités de Chebyshev, que $\pi(k) < k$.
  • Dom
    Dom
    Joyeux Noël à tous :)o
  • Bergtatt
    Bergtatt
    Joyeux Noël à tous !
  • omega
    omega
    Joyeux Noël à tous !
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Joyeux Noël à tous !

    Cordialement,

    Rescassol
  • remarque
    remarque
    Et une petite animation* de circonstance (juste pour ne pas perdre la main :-)) :

    * Faite avec scilab, dont on reconnaît la 3d suboptimale, pour répondre à JLT plus bas...58424
  • Laurette
    Laurette
    Joyeux Noël à tous et toutes !
  • Bouzar
    Bouzar
    Bonsoir,
    Joyeux Noël à tous et toutes ! Que la paix et la magie de Noël soit dans votre maison en cette période de fêtes.
    Cordialement
  • JLT
    JLT
    Joyeux Noël ! Merci à Remarque pour cette superbe animation (faite avec quel logiciel ?).

    @noix de totos : si $n$ est congru à $0$, $2$ ou $4$ modulo $6$ alors $n^2+2$ est pair et différent de $2$ donc non premier. Si $n$ est congru à $1$ ou $5$ modulo $6$ alors $n^2+2$ est divisible par $3$ et différent de $3$ donc non premier. On en déduit pour tout $n\in [6,6k]$ tel que $n^2+2$ est premier, on a $n\in \{3+6j\mid j=1,2,\ldots,k-1\}$, ce qui conclut.
  • noix de totos
    noix de totos
    @JLT : c'est ça, bravo et merci ! J'ai cru pendant un moment que cet exo allait faire un flop...

    Autre façon d'écrire la même solution : parmi les $6k-5$ entiers de la forme $n^2+2$ de $\left [6,6k \right]$, il y a $3k-2$ entiers pairs lorsque $n$ est pair, et $2(k-1)$ entiers multiples de $3$ lorsque $n \equiv \pm 1 \; (\textrm{mod} \, 6)$. Ainsi
    $$\pi(k) \leqslant 6k-5-(3k-2)-2(k-1)=k-1 < k.$$
    C'est du crible.
  • Jean--Louis
    Jean--Louis
    Joyeux Noel à tous!!!
    Jean-Louis.
  • Algèbre
    Algèbre
    Avec du retard joyeux noël.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Bonnes fêtes de fin d'année.
    Merci à Remarque pour son sapin de Noël qui n'ira pas alourdir le nombre d'arbres massacrés.
  • ev
    ev
    Joyeux Noël à tous et à toutes.

    Mes respects à Monseigneur pour le boulot accompli.

    e.v.

    [ Je ne crois pas trahir un secret en rappelant aux petits nouveaux que Remarque est le pseudo du Père Noël sur ce Phôrüm. ]
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Sylvain
    Sylvain
    Sans ta clause de non divulgation.
  • gerard0
    gerard0
    Avec un peu de retard, joyeux Noël à tous !
  • Bruno
    Bruno
    Joyeux noël à tous.

    Bruno
  • Jean--Louis
    Jean--Louis
    Et à toutes!!! Merci ev!!:-o
    Jean-Louis honteux...
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