critère de tension pour des semi-martingales

Carthésien · June 2017

Bonjour à tous
Je dispose d'un processus $ \displaystyle \big\{ X_N(t ,x) \mid t\in [0,T] ,\ x\in \mathbb{T}^2 \big\} $
où
$ \displaystyle X_N(t ,x) = X_N(0 ,x) + \int_0^t \varphi_N(r,x) dr + \mathcal{M}_N(t,x) $ ;
$ \displaystyle \mathcal{M}_N $ étant une martingale càdlàg (continue à droite avec limite à gauche).
Pour étudier la convergence de ce processus quand $N$ tend vers l'infini, je veux montrer qu'il est tendu.

Comment peut-on montrer que ce processus est tendu ?
Merci d'avance pour vos réponses.

rebellin · June 2017

En combinant les livres de Billingsley et de Karatzas-Schreve, tu dois :
- trouver les critères usuels de tension
- trouver les arguments qui permettent de prouver qu'il y a tension

Sans en savoir plus sur tes processus, impossible pour moi de dire quoi que ce soit d'autre.

Carthésien · June 2017

Plus clairement , $X_N$ s'écrit

$ \displaystyle X_N(t ,x) = X_N(0 ,x) + \int_0^t \varphi_N(X_N(r ,x)) dr + \mathcal{M}_N\Big(\int_0^t X_N(r,x)dr\Big) $

$ \varphi$ une fonction continue de $\R $ dans $\R$ ; $ \mathcal{M}_N(t) = P_N (t)-t $ ; $P_N$ étant un processus de Poisson d'intensité 1.

Le souci vient du fait de la présence de la composante $ x\in \mathbb{T}^2$, et cela fait appel à des questions de trace en ce qui concerne le terme de martingale.

rebellin · June 2017

J'ai un peu réfléchi à ton histoire - juste un peu, en surveillant l'épreuve de philo ce matin...

J'ai quelques questions :
1. Tendu dans quoi ? $C\left[0,1\right]$ ou $D\left[0,1\right]~?$
2. Comment sais-tu qu'il existe un processus $X$ vérifiant ta formule ?
3. Si l'on prend le modèle plus simple $$X_N(t)=X_N(0)+\int_0^t X_N(r)\mathrm{d}r,$$
où donc la fonction $\varphi$ est l'identité, il y a une infinité de solutions déterministes, définies par $X_N(t)=K\exp(t).$ Cette famille n'est pas tendue dans $C\left[0,1\right],$ puisqu'elle n'y est pas bornée (non ?).
Conclusion : sans en savoir plus sur les $X_N$, ou sans connaître la relation éventuelle de récurrence qui les relie, je doute qu'on puisse prouver quoi que ce soit en termes de tension...

Carthésien · June 2017

Bonjour rebellin,

Toutes mes excuses pour cette longue absence .

1) En effet $X_N $ est definie par une formule de récurrence un peu compliquée obtenu d'un modèle; j'ai essayé de simplifier au mieux pour pouvoir poser la question.
2) Il s'agit de la tension dans $ D([0,T]; L^2(\mathbb{T}^2) ) $ ou dans $ D([0,T]; H^1(\mathbb{T}^2) ) $ .

rebellin · June 2017

Bonjour,

comme je te l'ai dit avant, je ne peux en dire plus sans en savoir plus... A toi de trouver dans des livres qui parlent de tension des critères qui pourront s'appliquer à ton processus.

ps : si tu peux d'une manière ou d'une autre te retrouver à étudier un processus gaussien (par ex si ton processus est gaussien conditionnellement à une certaine tribu), alors il y a plein de techniques (cf Dudley, Fernique, Talagrand,...)

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