Comme un doute.

Ottman · November 2017

Il y'a quelque chose de particulier à remarquer : Nous "mathématiciens" amateurs ou non, sommes les premiers à nous vanter d'une rigueur implacable. Mais dans ce cas pourquoi l'erreur subsiste-t-elle ? après une longue preuve j'ai souvent le réflexe de la faire lire à un ami ou de la poster ici sûrement pour avoir "validation" , mais pourquoi notre preuve ne nous suffit pas ? pourquoi ce doute subsiste ? pourquoi nous ne sommes pas prêt à faire des maths dans notre tête en faisant fi de toute la communauté mathématique ? comme l'a peut-être fait A.Grothendieck .
Et puis ce doute est surement nécessaire combien de grosses preuves se sont finalement avérées fausses ?!

Shah d'Ock · November 2017

C'est justement parce que la possibilité d'erreur existe que la rigueur est nécessaire.

Seirios · November 2017

Dans les démonstrations que l'on écrit tous les jours, il n'y a pas de "rigueur implacable". Pour cela, il faudra écrire tout explicitement, ce qui n'est pas faisable humainement (mais que certains font assistés d'un ordinateur). Au lieu de cela, il y a plein de petites évidentes que l'on ne prend pas la peine de démontrer, justement parce que ce sont des évidences. Mais parfois, ce n'est pas si évident... Finalement, il me semble qu'il faut abandonner l'idée des mathématiques comme machine à certitudes.

Shah d'Ock · November 2017

De mon téléphone: je ne suis pas entièrement d'accord avec toi, Seirios. C'est un peu comme si tu disais qu'il faut renoncer à l'idée de train comme machine à se rendre d'un point $A$ à un point $B$ parce que parfois certains déraillent.
Je pense qu'on ne peut pas abandonner l'idée que l'objectif des maths c'est de produire des certitudes (sinon autant abandonner l'idée de faire des preuves), mais la route vers cet objectif est semée d'embûches.

Math Coss · November 2017

Je ne sais plus où j'ai lu récemment que le but d'une démonstration était de convaincre son interlocuteur (ou lecteur, ou soi-même) que le théorème admet une preuve formelle, c'est-à-dire acceptable par un assistant de preuve.

Chalk · November 2017

Peut-être ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,1539376,1539704#msg-1539704

Seirios · November 2017

@Shah d'ock : L'analogie avec le train qui déraille ne me semble pas pertinente. La très grande majorité des preuves que nous écrivons, qu'elles contiennent ou non des erreurs, sont rédigées avec des sauts au-dessus d'évidences. Il ne s'agit donc en rien d'un événement isolé et catastrophique, comme un déraillage, mais du quotidien.

Pour moi, l'objectif des mathématiques n'est pas de produire des certitudes. Si c'était le cas, on pourrait faire tourner des ordinateurs jours et nuits pour écrire des déductions logiques à partir d'axiomes absolument quelconques. Je donne beaucoup d'importance à la compréhension des mathématiques et au sens de l'esthétique. Parler de certitudes me semble erroné (même si chacun a ses propres objectifs en faisant des mathématiques, je parle de manière générale), et "sec".

Ottman · November 2017

Effectivement, je suis d'accord avec Seirios en plus du sens esthétique manifeste, il y'a aussi un grande importance accordée à la notion de concept :
le concept de topologie de limite de groupe est peut-être mathématiquement plus fondamental que toutes les choses qu'on pourrait y prouver. le génie mathématiques c'est pas tellement de démontrer tel ou tel théorème mais plutôt de faire ces concept qui donnent un contexte tout fait pour ces problèmes.

Mais pour ce qui est du "doute". Si on nous donne un théorème assez difficile à démontrer et dont on ne connaîtrait pas déjà la preuve. Et disons qu'on nous donne une année pour le résoudre seul sur une île et qu'on nous demande de parier notre main sur la véracité de la preuve. Des gens le ferait vraiment ?

Champ-Pot-Lion · November 2017

Il n'y a pas que les preuves pour renforcer les certitudes. Il y a aussi la cohérence, l'harmonie, la vision globale, l'intuition qui sont importantes. Il y a aussi les expériences (informatiques, physiques, cas particuliers vérifiés, etc.). Et puis l'aspect social. Ce n'est pas seulement en les composantes individuelles que l'on a confiance ou pas, ça forme un tout.

Dans son article "On proof and progress in mathematics", Thurston parle de ce genre de choses (partie 4, what is a proof?). https://arxiv.org/abs/math/9404236

Pour la question sur le théorème à prouver, tout dépend du théorème, de ce qu'on a réussi à faire (et de ce qu'il y a à gagner

). Si on construit toute une théorie durant l'année et pas juste une preuve, ça rendra déjà plus confiant.

Utilisateur anonyme · November 2017

Mais on est bien d'accord que si on retire tous les problèmes factuels comme des mathématiciens qui seraient pris d'hallucination collective ou des bugs tres violents sur un ordi. Si on le souhaite en prenant suffisamment le temps il est bien possible de rendre n'importe quelle preuve vraiment sûre en oubliant les problèmes factuels/crise de démence etc en la rédigeant vraiment complètement ? Y a aucune exception à ca sinon ce n'est pas un théorème mathématiques qu'on a écrit ?

Vous parlez d'esthétique ou vous invoquez des raisons humaines comme le manque de temps le fait de faire plein de sauts d'etape etc mais rassurez-moi vous parlez bien "en pratique" en prenant en compte la psychologie humaine et le temps mais si on omet ça on est bien d'accord qu'il n'y a aucun problème réel dans aucune preuve pour en faire une vraie longue démo qui saute jamais la moindre étape. parce qu'en vous lisant j'ai l'impression qu'en fait ça peut ne pas être le cas, mais vous parlez bien "en pratique" ?

Seirios · November 2017

C'est sans doute un peu plus profond qu'une question de pratique. Même si un résultat pouvait être démontré avec une rigueur absolue en une dizaine de pages, on préférerait sans doute une preuve conceptuelle de quelques pages. Pourtant, dans les deux cas les preuves restent à taille humaine.

@Champ-Pot-Lion : Je ne connaissais pas ce document, merci pour la référence !

Félix · November 2017

Pour la complexité et le volume de vérifications à mener, un exemple emblématique est celui de la classification des groupes finis simples :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Classification_des_groupes_simples_finis

Plus de 30 années d'élaboration, des dizaines de milliers de pages...

Shah d'Ock · November 2017

Grothenbite, pour tes questions, on en a déjà parlé dans le fil mis en lien par Skyffer. Et contrairement à Seirios, je dirais que oui, c'est juste "en pratique".

Seiros: évidemment, il ne s'agit pas uniquement d'acquérir des certitudes (il y a le pourquoi le comment et le sur quoi). Néanmoins la fonction d'une preuve est bien de certifier ce qu'elle prouve, non?

Comme un doute.

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 1